最优化问题：y=x² 的极值法线

刚收到这个题目 它包含很多信息 它比通常在练习册上看到的题目要难得多 所以讲解它会对大家有帮助 它是这种题目 刚读到时 眼睛会看呆了 但理解了它的意思之后 就变得合理而有趣 题目是：图中上方的曲线 是抛物线y=x^2 那么这条曲线是y=x^2 确定一条法线 使它在第一象限跟抛物线相交时 跟抛物线垂直 那么这是第一象限 题目是指这样的法线 它在第一象限跟抛物线相交时 与之垂直 所以如果在这儿画一条切线 这条线垂直于切线 这是已知的全部信息 这是法线 法线 没错 图中给出了5条法线 1 2 3 4 5 正好 它们看起来都与之垂直 或者说 是第一象限的抛物线的法线 所以这讲得通 某段时间内 第二象限中 法线跟抛物线的交点x坐标 随第一象限的交点x坐标变小 而变小 那么看看第一象限的交点 x坐标变小时会怎样 我们现在讲到这里了 如果从这个点开始 此处的x坐标是这样的 向下 x坐标大约在这儿 然后移向更小的x坐标 到这一点 其法线会怎样呢？ 更重要的是 这法线在第二象限 的交点会怎样呢？ 这是第二象限 当这里的x更大时 法线交于第二象限的这儿 然后当x值向内 减小时 这个x值 因为这是下一个点 此交点处的x值变得 题目描述的不好 说成第二象限的 交点变小 但实际上 它不是变小 而是负的程度变小 变小可能是指绝对值 或大小 其实是负的程度变小 它向内移动 但实际上 它变大了 对吗？ 负的程度变小 但数值变大 但如果考虑绝对值 就是变小 对吗？ 当从这个点移到这个点 当第一象限的交点x值 向内移动 第二象限的交点也向内移动 从这条线到这条线 没错 但最后 法线在第二象限的交点 变小到一定程度 那么如果持续减小第一象限的x值 在第一象限中持续向内移 到这个点 这个点对应的第二象限的交点 在这儿 然后如果继续减小 第一象限的x值 法线在第二象限的交点就开始 变得越来越负 所以可以把这看成法线 在第二象限交点的 最大值 或最小绝对值 把它讲清楚 在这儿 第一象限的 交点x值较大 对应第二象限中 负的程度较大的x值 然后当减小x值到这儿 则对应值的负的程度减小 一直到这个点为止 对应这个点 可看成所得的负的程度最小的值 然后当再向内移动x 这些法线开始再次向外 第二象限的外侧 题意就是这样 极限法线由 图中粗线所示 这是极限法线 这条深色粗体的线是它的极限 极限法线 这个点之后 再向内移动x值时 第二象限的交点 开始向外移 可以考虑其极限情况 如果在这儿画一条法线 其第二象限的交点 将在这之外 尽管看起来有点像渐近线 但谁知道呢 看题目剩余部分 一旦法线超过极限法线 第二象限中 它跟抛物线的交点 的x值开始增加 当说到增加 实际上是指 负的程度增加 描述的不好 应改为负的程度增加 或 变成负的程度更大的数 因为一旦到这点以下 突然 交点x值在第二象限中 开始向外移 没错 图中表示了两对法线 没错 每对中的两条法线在第二象限 中的交点一样 但其中一条在第一象限的极限法线之上 另一条在它之下 没错 例如 这一条 这是较大x值 它对应第二象限的交点在这儿 然后减小x值 减到足够小 越过极限法线 到这一点 对应交点 应该是到这一点 那么如果x值减的足够小 就会再次交于第二象限的 同一个点 但愿我分析这道题时 大家能理解它 现在要求什么呢？ 时间只够讲第一题了 可能把第二题放在下一集讲 求极限法线的方程 一开始会让人气馁 但根据导数 和直线方程的相关知识 应该能算出来 那么这条曲线任意点处 切线的斜率是什么？ 只需对y=x^2求导 y'=2x 这是任意x点处切线的斜率 那么如果想知道x0处切线的斜率 某特定x值处 只需 其斜率为2·x0 或者 f(x0)=2x0 这是任意特定x0处的 切线斜率 而法线的斜率垂直于它 那么法线 这里不再回顾了 但其垂线的斜率为其负倒数 所以法线在x0处的斜率是它的 负倒数 因为这是x0处的切线斜率 所以它=-1/(2·x0) 没错 那么x0处的法线方程是什么？ 设这是所讨论的x0 其法线方程是什么呢？ 只需用点斜式 方程 这个点在法线上 这是(x0,x0^2)点 因为它在曲线y=x^2上 所以法线也包含这点 那么法线方程为 写下来 这是直线的 点斜式定义 y- y值 即x0^2 在那儿 等于法线斜率 即-1/(2·x0) 乘以(x- 取的x点 -x0) 这是法线方程 看看 要关注的是x0＞0的情况 对吗？ 关注的是法线在 第一象限的所有这些值 这就是法线方程 我们来解出y随x的变化关系 y是关于x的函数 两边同加上x0^2 得到y= 把它乘进去 得到-(1/(2·x0))x 然后加上 负负得正 +1/2 x0/x0 抵消了 然后两边同加上x0^2 到现在所做的只是针对这部分 它是这部分 然后两边同加上它 +x0^2 这是法线方程的mx+b式 这是斜率m 这是 y轴截距 是b 现在要求什么呢？ 求它的交点位置 关注的是 它跟抛物线在哪里相交 而抛物线很直接 只是y=x^2 那么要算交点位置 只需令这两个y相等 那么两者相交 交点的x值 x^2 这个y应等于那个y 只需把它代入那个y 得到x^2=(-1/(2·x0))·x +1/2+x0^2 没错 把它写成二次方程 或为解出它 可以用二次方程求根公式 那么把这部分放到左边 得到x^2+(1/(2·x0))x- 这个整体 1/2+x0^2=0 刚才所做的是把这部分放到 方程左边 现在 这是二次方程的标准式 可以算出x值在哪里满足条件 由这个二次方程可得 法线跟 抛物线的交点位置 只需用二次方程求根公式 那么交点的可能x值为 x=-b 只是用二次方程求根公式 -b为-1/(2·x0) ±√(b^2 即它的平方 为1/(4·x0^2) -4ac 那么-4·1·这个负值 负负得正 所以只是4·它 因为a是1 +4·它 即2+4·x0^2 这里算的是4ac -4ac 负负抵消了 为正 这里得到1 所以4c=2+4·x0^2 只是将它乘以4 这个整体还要除以2a 这里为2 看它能否化简 记住这求的是什么 求的是法线跟抛物线的 交点位置 由它得出什么 这玩意太难看了 看它能否进一步化简 那么提出 这样写 各项都除以1/2 为1/(4x0) 只是除以2 ±1/2 即这个1/2 ·√ 看看这怎么化简 如果提出4/x0^2 这个式子会变成什么？ 这项变成x0^4 x0^4+ 这项变成什么？ 这项变成(1/2)x0^2 检查一下 4·1/2 得2 然后x0^2抵消了 后面这项跟它相乘得2 那么+ 已提出4/x0^2 所以+1/16 向右拖 可以检查它是否成立 如果把它乘进去 应该会得出这部分 看起来应该会的 因为提出它之后很简洁 它等于什么？ 法线跟抛物线 的交点=它 -(1/4x0)±1/2 ·√这部分 √ 这部分是4/(x0^2) 它是什么？ 好在它其实是完全平方 这里不细讲 因为这一集时间很长了 但相信大家能认出 这是(x0^2+1/4) 不信的话 把平方展开 会得到这个式子 够幸运 这是完全平方 可以求它的平方根 那么得到法线 跟抛物线的交点为 这个题还真繁琐 交点为-1/(4x0) ±(1/2)·它的平方根 它的平方根 为(2/x0)·它的平方根 即(x0^2+1/4) 这个整体可以写成 1/(4x0)+ 1/2跟2抵消了 对吗？ 两者抵消 那么± 只有(1/x0)·x0^2 即1/x0 抱歉 要细心 x0^2/x0=x0 用黄色表示 就知道 算的是哪部分 这项·这项=x0 然后+1/(4x0) 整体括起来 这就是法线跟抛物线 相交的两点 讲清楚点 这两个点是 如果这是所讨论的x0 就是这个点和这个点 它含± 所以这是正值 这是负值 实际上 正值化简后应为x0 看看是不是这样 看看含+的值是否化简为x0 这是两点 算含+的那个 它应该在第一象限 x=-1/(4x0)+x0+1/(4x0) 没错 它抵消了 抵消了 那么x0为交点之一 这完全讲得通 因为开始就是这么定义的 但这是第一象限的交点 这是第一象限的交点 第二象限的交点将是 含减号的那个值 那么称之为第二象限的交点 它=-1/(4x0)-这部分 减去这部分 那么-x0-1/(4x0) 得到什么呢？ 有-1/(4x0) -1/(4x0) 所以它=-x0-1/(2x0) -1/4-1/4=-1/2 那么第二象限的交点 所做的全都是为了得出它 第二象限的交点 希望还有地方 法线和抛物线在 第二象限的交点 为-x0-1/(2x0) 得出的它本身很简捷 但可惜题目还没做完 因为题目要求找出 交点的最大值 它被称为极限法线 极限法线为第二象限的 交点达到最大值的情况 题目说是最小值 但只是负的程度最小 其实是最大值点 那么如何算出最大值点呢？ 已求出第二象限的交点 它是关于第一象限x0的函数 可以重写成 第二象限的交点是 关于x0的函数 它=-x0-1/(2x0) 所以当导数为0时 它会达到 最大或最小值 这不是常规的表示法 可能是本题中最难的部分 将它对x0求导 那么第二象限的交点 对x0求导 很直接 =-1-(1/2)· 它相当于x^(-1) 所以是-1·x0^(-2) 对吗？ 可以把它写成 -(1/2)·x0^(-1) 只是把指数放到前面 然后指数减1 这是它对第一象限的交点 求导 对它化简 那么x 第二象限的交点 它对第一象限的交点 求导 =-1 -(1/2) 再乘以-1 变为正 所以+1/(2x0^2) 它=0时达到最大或最小值 那么令它=0 解出答案 两边同加上1 得到1/(2x0^2)=1 也就是 2x0^2=1 等式两边取倒数 那么x0^2=1/2 等式两边 求平方根 得到x0=1/√2 快算出来了 已经算出极限法线的 x0值 这个值 用更深的颜色表示 由这个值得出极限法线 这里x0= 1/√2 现在 题目要求 极限法线方程 法线方程 这里已经求出来了 是它 法线方程是这个式子 如果要算这极值点处的 法线方程 算出来就是极限法线方程 只需把1/√2代入x0 得到什么？ 得到 接近尾声了 这题可真麻烦 y-x0^2 x0^2=1/2 对吗？ (1/√2)^2=1/2 =-1/(2x0) 这里要细心 -(1/2)·(1/x0) 1/x0=√2 对吗？ 整体·(x-x0) 即1/√2 x0=1/√2 化简一下 这个法线方程 假设没有粗心错误 为y-1/2= 把它乘起来 -(√2/2)x 然后√2跟它相乘 变成1 负负得正 所以+1/2 应该没错 +1/2 它·它·它 =+1/2 然后 最后一步了 只需等式两边同加上1/2 得到极限法线方程 为y=-(√2/2)x 但就算有 相信大家也明白了 假设没有粗心错误 就这样 怎么解这道难题 等式两边都加1/2 得到+1 这是所求直线方程