最优化：材料成本

我们需要制作一个长方体储存箱， 不要盖子，容积要有 10 立方米， 底面的长需要是宽的两倍。 底面材料的价格是每平方米 10 元， 侧面材料便宜点，每平方米 6 元。 制作这个储存箱，最少要花多少材料费？ 我把这个没盖子的储存箱画出来， 是个没盖子的长方体。 顶上是空的， 我来好好画一下，用我的最大实力， 顶上是空的， 这是箱子的顶部， 我把侧面画出来， 是这个样子， 看上去是这个样子， 然后我再画—— 由于箱子没有盖子， 所以我也能看到里面的样子。 箱子应该是这个样子。 题目还说什么？ 储存箱要有 10 立方米容积。 我写下来， 箱子要有 10 立方米。 而底面的长是宽的两倍， 所以长呢， 我们先把宽记作 x， 长就是 2x， 它就等于 2x。 这里还有已知条件， 已知底面材料的价格是每平米 10 元。 底面，是这个部分—— 如果我能透视，这就会继续延长， 就是底面，用的材料是每平米 10 元。 我标记下来，10元每平米， 然后题目还说， 侧面材料是每平米 6 元。 所以这里的材料是 6 元每平米。 现在，我们来看看如何将 这个箱子的材料成本表示成 x 的函数， 但 x 只是底面的长和宽， 我们还需要高， 那我们先表示成 x 和高的函数。 我把高表示成 h， 那么箱子的成本是多少？ 成本等于底面的材料费， 底面的材料费就等于 10 元乘以—— 我就写 10， 就是 10 乘以底面积， 底面积多大呢？ 底面积等于长乘以宽， 所以是 10 乘以 x 乘以 2x。 这是底面的成本， 然后，侧面的成本是多少呢？ 不同的面有不同的尺寸， 这个面和这个面，长宽相等， 它们的面积都等于 x 乘以 h， 所以是 x 乘以 h， 而材料费是 6 元每平米， 所以 6 乘以 x 乘以 h 就是这一个侧面的材料费， 一共有两个，所以乘以 2。 所以是加 2 乘以 6xh。 然后我们看这两个侧面， 这个侧面和这个侧面， 每个侧面的面积都是 2x 乘以 h， 它就是 2x 乘以 h。 材料费是 6， 所以这一个侧面的材料费是 6 元每平米乘以 2xh 平方米。 但这种侧面有两个， 这是一个，这是第二个， 所以还要乘以 2。 所以我们有—— 整个这部分，就是侧面的成本。 我们先整理一下， 我要用新的颜色， 所以它就等于 10—— 10 乘以 2 是 20， x 乘以 x 是 x 平方。 然后是 2 乘以 6 乘以 xh， 也就是加 12xh， 然后是 2 乘以 6 乘以 2xh， 也就是 12 乘以 2xh，就是 24xh， 加 24 xh。 它就等于 20x 平方加 36xh。 这就是我的成本。 但现在还不能优化它， 两个变量没法求最小值。 我们只会对一个变量求极值， 比如可以关于 x 求极值， 但如果是关于 x 求极值， 我们就需要把 h 用 x 表示出来。 怎么做呢？ 如何把 h 表示成 x 的函数呢？ 我们已知箱子的容积必须是 10 立方米。 所以我们知道 x，就是宽，乘以长，2x， 再乘以高 h，等于 10。 换句话说，它就是 2x 平方乘以 h， 2x 平方 h，必须等于 10。 要用 x 来表示 h， 只需要两边同时除以 2x 平方， 就得到 h 等于 10 除以 2x 平方。 也就是 h 等于 5 除以 x 平方。 然后我们就可以代换回去， h 等于 5 除以 x 平方， 所以这整个式子就等于 20 乘以 x 平方再加 36 乘以 x 再乘以 5 除以 x 平方， 所以我们的成本是关于 x 的函数， 它等于 20x 平方加 36 乘以 5， 我看看，30 乘以 5 是 150， 再加 30 就是 180。 它就等于 180 乘以—— x 乘以 x 的 -2 次方， 180x 的 -1 次方。 最终得到成本关于 x 的函数。 现在我们就可以求极值了， 求极值要先把可能的极值点找出来， 然后再判断是不是极大值或极小值。 我们就开始吧， 要找可能的极值点，就要先求导， 找出导数为 0 或无定义的点， 这些点就是可能的极值点。 然后从这些可能点中， 我们再找出极小值或极大值点。 那么，我们的成本 c 对 x 的导数 就等于 40 乘以 x 减去 180 乘以 x 的 -2 次方。 这看上去—— 它对所有 x 都有定义，除了 x 等于 0。 但我们不关心 x 等于 0 点， 否则箱子就退化成纸片了， 就会完全没有底面了。 所以不用考虑这个点， 这样的箱子没有容积，做不出来。 实际上，如果 x 等于 0， 高就是无穷大了。 所以我们看， 它除了 x 等于 0 之外都有定义。 那么现在我们来看看导数为 0 的点， 这也是可能的极值点。 所以我们—— 我在这里写吧。 什么时候 40x 减 180x 的 -2 次方等于 0 呢？ 两边同时加 180x 的 -2 次方， 得到 40x 等于 180—— 我可以写成 180 除以 x 平方。 我看看， 我们两边同时乘以 x 平方 然后得到 40x 的立方等于 180， 两边再除以 40。 得到 x 的立方等于 180 除以 40， 也就是 18 除以 4， 也就是 9 除以 2。 我们把 x 解出来， 这个 x 就是个可能的极值点。 我们得到一个可能的极值点，x 等于 9/2 的 1/3 次方， 9/2 的立方根。 我们看， 我们算一下它的近似值， 我们有 9/2，9 除以 2—— 我也可以写 4.5—— 它的 1/3 次方， 1/3 次方，等于 1.65。 我们这个可能的极值点约等于 1.65， 根据题意， 我们只找到了一个可能的极值点。 所以很可能这就是我们要找的点， x 等于它时达到极小值。 但我们还是用二阶导数 来验证一下， 看看函数在此处是否下凸， 若是下凸，那这个点就是我们要找的极小值点。 求二阶导数， 我在这里写， 成本函数的二阶导数 就是把它再求导， 就等于 40 减 180 乘以 -2， 也就是 -360。 它就等于加 360 除以 x 的立方。 这部分的导数等于 -2 乘以 -180， 也就是正的 360x 的 -3 次方， 就是这个。 当 x 等于 1.65 时， 它是正的，它也是正的， 我写下来， c''(1.65) 肯定大于 0。 所以在 x 等于 1.65 处，函数是下凸的。 下凸，也就是说我们的函数图像 看上去应该是这个形状。 所以在导数为 0 的点， 就是这里，函数达到极小值。 我们就将成本最小化了。 回到题目，还剩最后一步—— 我们已经知道使成本最小化的 x 值， 只需算出成本最小时箱子的材料费是多少。 我们要算出这个最小成本是多少， 成本是关于 x 的函数， 我们把 1.65 带入到式子里， 就能算出函数在 1.65 时的值。 好我们来做。 我们的成本就等于 20 乘以 1.65， 应该是约等于， 因为 x 值是近似值， 1.65 平方加 180， 然后是再除以 1.65。 这就是乘以 1.65 的 -1 次方。 那么是除以 1.65， 就等于 163， 四舍五入，163.5 元， 这是近似值。 所以成本是—— 我再换种颜色。 激动人心的时刻要到了， 当 x 等于 1.65 时， 我们的成本约等于 163.54 元。 163.54 元，这箱子挺贵啊。 这真不便宜。 看来用的都是昂贵材料。 当然，箱子很大， 1.65 米宽，长是宽的两倍。 然后你也可以算出它的高是多少， 尽管应该不是很高， 5 除以 1.65 的平方， 不知道，大概将近两米高吧， 所以这是个很大的箱子， 用了很贵的材料， 而制作这个箱子的最小花费也得是 163.54 元。