最优化：盒子的体积（二）

在上一个视频中，我们很好地了解了 应该在纸板的角上切掉多大的x 以得到最大的盒子体积。 我们当时是用图示法来求解的。 在本视频中我想做的是 应用微积分工具来看是否我们能 得到一样或更好的结果。 为了做到这一点，我将求出 体积作为x的函数的临界点。 为了求出临界点，我需要对体积取一阶导数。 让我开始 开始之前，我们先简化式子。 这样我就不需要应用乘积法则 然后再简化它， 让我这个表达式乘起来。 所以让我们把体积做为x的函数重写为 我会用黄色来书写。 我们得到x乘以 我会首先把这两个二项表达式乘起来。 20乘以30得600。 然后20乘以-2x得-40x。 然后-2x乘以30得-60x。 然后-2x乘以-2x， 结果是4x^2。 对这部分简化 而且我可以改变顺序为4x^2 -100x + 600。 我只是书写的时候改变了顺序。 就得到了这个式子。 所以我可以把体积重写为 x乘以所有这部分， 我们需要有足够的空间， 让我往上面一点写 等于 4x^3 - 100x^2 + 600x。 对它取一阶导数很简单。 所以v’(x)等于 -- 我需要多次用到幂法则 4乘以3等于12。 x的(3-1)次幂，即12x^2减去 200乘以x的一次幂，即x，加上600。 那么现在我们只需要求解 这个式子什么时候等于0。 也就是求解12x^2 - 100x + 600 = 0。 x等于多少这个一阶导数等于0？ 什么时候原函数的斜率等于0？ 我也可以寻找 当一阶导数不存在时的临界点， 但是这个导数 在x的定义域0到10内是有定义的。 所以我可以分解这个表达式或者 简化一下这个式子。 但是这里我直接一点 我会用到一元二次方程的求根公式。 所以满足这个方程的x 等于 -b, 即200。 负的负200等于200。 加上或减去 b^2, 即(-200)^2，的平方根。 这里我可以写成200^2。 不管是(-200)^2还是200^2， 得到的结果一样。 根号下的空间应该更多一点。 所以是(-200)^2。 即4后面4个0。 1, 2, 3, 4。 所以是40000-4ac。 即减去4乘以12再乘以600， 空间还不够，乘以600。 所有这些再除以2a。 即除以24。 我会用计算器来求解。 让我退出图形模式。 好了，首先我会尝试求解加上这个根式。 所以是200加上40000的平方根。 我可以写成200^2， 但是这样也可以。 40000减4乘以12乘以600。 结果是305，再除以24。 除以24，得到12.74。 x其中的一个可能值 是12.74。 然后让我来看 当我减去根式的情况。 再用一下计算器。 那么开始，200 我也许可以更有效率地求解， 但是这样也可以， 减去40000减4乘以12乘以600的平方根。 这只是分子。 需要再除以24，得3.92。 我做对了吗？ 200减去40000减去4乘以12乘以600， 再除以24。 刚才的结果除以24得3.92。 所以结果是12.74或者3.92。 我能用哪一个值呢？ x = 12.74超出了x的取值范围。 当x等于12.74， x和x就互相重叠。 所以x不能是12.74。 那么临界点就是x= 3.92。 而且看看这个图，你可能会发现 对啊，这看起来像是一个极大值点。 但是如果你手头没有这个图， 你可以用二阶导数来检测， 当x = 3.92时，函数是凹的还是凸的？ 为了做二阶导数检测， 你需要求出二阶导数。 我们开始。 v’’(x) 等于 24x， 减200。 而你可以发现 这个数是小于4的。 所以这里这项是小于100的。 再减去200。 那么x=3.92时的二阶导数 是小于0的。 如果你愿意的话你可以求出二阶导数的准确值。 因为二阶导数小于0，所以曲线是凸的。 另一个说法是： 斜率是递减的。 凸的。 当斜率递减时， 函数的形状看起来是这样的。 斜率先是高，然后变低，变低，变为0， 然后更低，更低，更低。 我们可以在这里的图上看到这一点。 因为曲线是凸的， 这表明这个临界点是在凸曲线上 而且它是一个本地极大值点。 所以这就是函数最大值时x的值。 那么这个最大值是多少呢？ 我们可以把3.92代入原表达式 来求出体积值。 所以在x=3.92时这个体积值 等于多少。 最大体积是多少？ 我们用计算器来求解。 这里3.92只是近似值。 我也可以用精确值。 实际上，我会用3.92来得到 最大值，即最大体积，大概是多少。 x的值是3.92。 我会用到这个x来表达的 体积表达式。 3.92 x (20 - 2 x 3.92)* (30 - 2 x 3.92)。 结果出来了， 等于1056.3。 1056.3比我们用图示法得到的结果要大一点。 在图示法中，如果我们可以放大的话， 也许我们可以得到更精确的结果， 从而得到更好的结果，但是这里你得到了。 应用解析法， 我们能够得到比在第一部分中用到的图示法更好的答案。