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最优化:盒子的体积(一)

假如你在用一块纸板来制作盒子,怎么样才能使盒子的体积最大呢?. Sal Khan 创建

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我们有一块20英寸乘30英寸的硬纸板。 让我把这块硬纸板画出来。 它看起来像是这样的。 这就是我的这块硬纸板。 而且我们知道 它的大小是20英寸乘30英寸。 我们要做的是 切掉硬纸板的四个角。 切掉的角是正方形的, 我们要从纸板的四个角切掉x乘x的正方形。 这里x乘x,然后这里x乘x。 切掉四个角后, 我们就可以把折盖翻起来。 让我画出这个折盖。 你可以想象我们在这里折叠, 在这里折叠和在这里折叠, 我们就可以得到一个箱子。 我觉得你可以想象这是一个没底部的箱子, 或者一个没顶部的箱子。 所以如果你把所有的折盖翻起来, 你会得到像这样的一个容器。 让我尽量把它画好 那么它看起来像这样。 这是一个折盖翻起来。 你可以想象这里这个折盖, 如果它翻起来像这样, 它看起来就是这样 它看起来就是这样 这个折盖的高度是x。 也就是这段距离是x。 如果我要翻起这个折盖, 让我画干净一点。 如果我要翻起这里的这个折盖, 翻起这个折盖,它看起来就是这样。 我尽量画好它。 它看起来是这样的。 然后我可以把后面的这个折盖翻起来。 后面的折盖看起来是这样。 这是后面的这个折盖。 它看起来是这样。 然后是这里的这个折盖。 如果我把它翻起来看起来是这样。 然后,箱子的底, 纸板的这块区域, 就是我要做的箱子的底部。 我想要的是最大化 箱子的体积。 我想最大化它的容积。 也就是我想适当地选取x来最大化体积。 那么让我们来考虑箱子的体积 与x的函数关系。 为了这个目的, 我们必须把箱子的三边表达为x的函数。 我们已经知道了这里的这个角是这样形成的: 当你翻起这两个折盖时,这个边和这个边就合起来了。 这里也是这个高度。 这里也是这个高度。 箱子的高度是x。 箱子的宽度呢? 箱子的宽度是多少呢? 箱子的宽度 是这里的这段距离。 这段距离不是20英寸减去1个x, 而是减去2个x。 所以是20 - 2x。 这里你可以看到。 整个这段距离是20。 你减去这个x,减去这个x。 然后你得到这里这段距离, 它就是20 - 2x。 同样的逻辑,箱子的深度是多小? 这里这段距离是多少呢? 那段距离就是这里这段距离。 我们知道整个这段距离是30。 如果我们减去这个x,再减去这个x。 我们就得到我们想要的距离。 所以是30 - 2x。 现在我们有了所有边的尺寸。 那么箱子的体积是x的什么函数呢? 体积作为x的函数 等于高,即x, 乘以宽,即20 - x,错了, 是20 - 2x, 乘以深,即30 - 2x。 现在来看,要得到一个合理的体积,x的可能值应该是什么呢? x不能小于0。 你不能切掉一个负数。 这样的话,我们就要往纸板上加东西。 所以x要大于或等于0。 好让我把它写下来。 x ≥ 0。 然后x要小于什么呢? 我最多能切掉 我们能看到这里的长度,这个粉红色,这个淡紫色, 是20 - 2x。 它必须要大于0。 它是小于30 - 2x的, 但是 20 - 2x必须大于或等于0。 你不能切掉多于给你的量。 或者说20大于或等于2x, 或者说 10大于或等于x, 也就是说x小于 或等于10。 这个黄色的色度不对。 x小于或等于10 所以x是介于0和10之间。 不然我们要么切掉太多 或者我们要加纸板。 那么首先让我们考虑在我们定义域两端对应的x能得到的体积 当x等于0时,体积是多少? 我们得到0乘以所有项。 这很明显。 这里没有任何高度。 所以你得不到体积。 所以体积为0。 当x等于10时体积是多少? 当x=10,那么这里的宽度, 我画的粉色的这条线就为0。 所以同样的,我们得不到体积。 这里的这项,如果我们看 它的代数表达式也等于0。 所以整个的表达式就等于0。 那么在x=0 和x=10之间的某处, 我们应该能得到我们的最大值。 在我们用微积分来求解解析结果之前, 让我们用图示方法来求解。 我会用我的计算器。 让我把计算器拿出来。 首先在画图之前,让我设定正确的范围。 我会用画图功能。 让我设定我的范围。 x的最小值,让我设为0。 我们知道x不能小于0。 x的最大值,设为10就对了。 y的最小值,y是体积。 我不可能有一个负的体积, 所以我把它设为0。 y的最大值, 让我们来看看什么值比较合理。 我会选取一个随机的x 然后看看能得到什么体积。 如果x等于5,体积是5*(20-10), 即乘以10。 结果是, 我做对了吗? 对的,20-2*5, 得10,再乘以(30-2*5), 得20。 所以是5乘以10乘以20。 所以你得到体积1000立方英寸。 我只是随机选了数字5。 让我把y的最大值设为 比这个体积值大一点,以防它不是最大值。 我只是随机选了这么个数字。 让我们把y最大值设为1500,如果某种原因 画出来的图不对,那么 我们可以把有最大值设得更大一点。 我认为这是一个合理的范围。 现在让我们输入这个函数。 体积等于 x(20-2x)(30-2x)。 式子看起来没问题。 那么现在我们画图 按”2nd”键,因为我要用上面的这个选项, 开始画图。 看起来我们选取了正确的范围。 这就是在x=0和x=10之间,体积作为x的函数, 而且在这里附近确实有一个最大值 我要做的就是 使用追踪功能来大致找出 这个最大值是多少。 让我来追踪这个函数 我能得到更高的值。 好了, 在这里体积是1055.5。 然后我能得到1056. 我们看,这是1,056.20,这是1,056.24, 然后值跌回到1055。 所以至少基于我的计算器的现有放大倍数, 这是对函数能取的最大值的一个很好的估计。 看起来最大值是大约1056, 当x=3.89时,我们得到这个最大值。 所以看起来在x=3.89时 体积大约等于1056立方英寸。 或者你可以说当x约等于3.89时,体积取最大值。 到目前为止,我们只是设定一个最大值问题, 然后用图示法来求解。 在下一个视频中,我们将用微积分工具 得出这个问题的解析解。