用函数的导数分析该函数

我们这里有一个函数 f(x)=x^3 - 12x + 2。 在本视频中，我要做的是 找出在哪些点 上述的函数f(x)取极小值和极大值？ 为了找到答案，我首先要找出 函数f的临界点。 然后找出在哪个临界点， 我们有极小值或极大值？ 而要求出临界点， 我们必须得到函数的一阶导数 因为临界点 要么是一阶导数为0 要么是一阶导数无定义的点。 求这个式子的一阶导数 我们需要多次应用幂法则， 对这一项你会用到常数法则。 x^3的一阶导数是3x^2。 -12x的一阶导数等于-12。 而常数的导数， 常数不随x变化， 所以它的导数等于0。 所以我们要得到的临界点是这样的： 当这里的这个式子， 在某些x的取值点，不存在或等于0时。 而这个式子对所有的x值都有定义。 所以它的临界点 是式子等于0时x值。 让该式子等于0。 什么时候3x^2 -12 等于0呢？ 我们在式子两边加上12。 得到3x^2 = 12。 两边再除以3。 得x^2 = 4。 那么x要么等于2 要么等于-2。 验算一下， f’(2)，即3乘以4再减去12，等于0。 同理， f’(2)也等于0。 所以我们说，让我换一个颜色 函数f有临界点x=2 和x=-2。 好了这没问题。 但是我们仍然不知道函数 在这些点是取极小值 还是取极大值，或者说就没有极小值和极大值。 要得到答案， 我们需要检查函数的导数在这些点两边是否改变符号。 我们来画出函数的导数 来考虑这个问题。 来，我们来画。 这里我先画x轴。 我应该在这里画， 因为稍后我会用这里的信息在它上面图示f(x)。 这是x轴。 这是y轴。 我们有临界点x = 2。 这是1，2。 以及临界点x = -2。1, 2，x等于-2。 那么如果我们要画f(x)的导数， 它看起来是怎样的呢？ 当x = 0时， 函数的导数等于-12。 这是y = -12的点。 注意，我们是在画y = f’(x)的图示。 它看起来是这样的。 这些是导数值等于0时的点。 所以函数曲线要穿过这个点和这个点。 那么在这两个临界点两边的导数 是什么情况呢？ 对这个临界点，函数的导数 是从正值变化到负值。 而导数从正值 变化到负值， 正是临界点是极大值点的判据。 在这个临界点，导数的值 是从负值变化到正值， 这是函数的临界点是极小值点的判据。 所以这是一个极小值。 让我们来看看这个直觉是否正确。 如果函数到某个点 是递增的， 这个点的导数等于0， 导数也可以没有定义。 我们这个函数在这点导数为0， 然后函数开始递减。所以这个点是极大值点。 同理，如果函数到某个点 是递减的，这个点左边的导数是负值。 请记住这是导数的图示。 让我把它标识清楚。 这不是y = f(x) 而是y= f’(x)的图示。 这种情况下，进入这个点之前， 函数的斜率是负值。 我们可以看到这是负的斜率 -- 所以函数看起来像是这样。 而在这个点，函数要么 导数不存在，要么斜率为0。 本函数在该点斜率为0。 经过该点后，让我画在这个点下方。 该点之前的斜率为负值。 在该点的斜率为0。 让我把它画得更好一点。 想象一下， 我们先有负斜率，而在该点斜率为0。 然后我们有正斜率。 所以函数开始递增。 所以我们说这个点是极小值点。 我在这里做的是 给你们一个概念： 在临界点的两边 当导数从正值变化到负值， 或者 从负值变化到正值时， 函数应该是怎样的。 这是极大值点的判据， 而这是极小值点的判据。 好了知道了这些， 我们是否能够 勾勒出函数f(x)的曲线呢？ 我们开始吧。 这只是一个草图， 不需要很精确。 但是至少我们能知道 函数f(x)的形状是怎样的。 我尽力吧。 曲线的比例不用准确。 这是x轴，这是y轴。 我们知道一个临界点是x = 2。 而另一个临界点是x = -2。 对这个函数，y的截距， 如果曲线是y = f(x), 对应于x = 0, 是2。 所以是这个点 -- 我这里的y轴比例 不同于x轴的比例。 我们说这里这个点是2。 函数曲线将穿过这个点。 即这是y截距。 而且我们已经知道了 x = -2是极大值点。 f(-2)等于多少呢？f(-2)是8， 还是-8，注意 是-8。 然后是12乘以-2， 得-24。 但是我们需要加上这一整项。 所以是减去-24。 即加上24。 最后再加上2。 我们有-8+24+2， -8+24得16，再加2得18。 所以f(-2)等于18。 我这里不是按比例画。 我们说这个点是18。 所以这是函数上的点(-2, 18)。 我们知道这是一个极大值点。 这个点之前的导数是负值。 左边的导数为负-- 对不起，这个点之前的导数是正值。 所以函数是在递增。 函数的斜率为正。 然后曲线穿过这个点， 斜率变为负值。 导数穿过了x轴，所以斜率变成了负值。 让我用同样的颜色。 曲线看起来是这样。 然后， 曲线会穿过 y截距点。 然后接近x = 2这点， 我们到了另一个临界点。 f(2)等于多少呢？ f(2)等于8-24+2。 即10-24，得-14。 我们说这里这个点是-14。 让我往上面画一点。 这是-14。 那么这是f(2)。 我们已经知道当我们接近这个点时斜率为负。 所以当接近该点时函数曲线递减。 然后在该点斜率为0。 前面我们已经说过了， 这是临界点的一个判据。 然后斜率开始增加， 导数是正值。 斜率在增加。 这就是f(x)的草图 看起来的样子，如果我们知道了这些点是临界点。 而且我们能证明2是极小值点。 所以这是极小值。 当x = 2时，函数取极小值。 当x = -2时，函数取极大值。