证明链式法则

-本视频中，我想做的是 证明这个非常著名，非常有用的 也非常优雅的链式规则 如果你有看其他一些 关于“可微则意味着连续性“的视频的话， 对于独立变量x，当x变化趋近于0的时候， 连续函数如何变化 函数的变化是如何 趋近于0， 那么这个证明实际上出乎意料地直接 所以，我们来做吧 这个只是链式规则的诸多证明之一 链式规则告诉我们 如果y是u的函数 而u是x的函数 我们要求出这个的导数 我们想相对于x求导 所以，我们要对这个相对于x求导数 我们可以将之写为 y相对于x的导数 也等于y对于u的导数 然后再乘以 u对于x的导数 这个是链式规则告诉我们的 但是，我们该如何证明呢？ 我们必须要提醒自己 y相对于x的导数， y相对于x的导数 等于当 𝛿x 趋近于0， y的变换除以x的变化的极限 现在，我们可以做一些算术运算 来引入u的变化，我们来做一下 这个就和 当 𝛿x 趋近于0时， 我把这里这个部分重写一下 基本上我只是 除以再乘以u的变化 所以我可以把它改写为 𝛿y 除以 𝛿u 乘以 𝛿u 乘以 𝛿u 除以 𝛿x y的变化除以u的变化 乘以， u的变化除以x的变化 你可以看到，这里是数值 所以，u的变化，这个可以和这个抵消 你就剩下了y的变化除以x的变化 也就是我们这里的 所以，这个过程没有什么意外的东西 但是这个等于什么？ 这个会得到什么？ 这个乘积的极限 等于极限的乘积 所以这个等于就是 当 𝛿x趋近于0时， 我涂上颜色， 这个部分的极限， 这个 𝛿y 除以 𝛿u 的极限，乘以 也许我应该放一个括号 乘以这个极限 当 𝛿x 趋近0时， 𝛿x 趋近0， 这个部分的极限 我放个括号进去 𝛿u 除以 𝛿x 这个简化以后得到什么？ 这里这个，这个是定义 如果我们假设，为了证明这个为真 我们必须假设u和y 可以相对于x求导 所以，我们假设，为了使之为真 我们假设 我们假设y，u是可以微分的 在x处可以微分 同时谨记，如果可在x处微分 这意味着它们在x处是连续的 但是如果u可以在x处微分 那么，它的极限就存在，这个是 这个是u‘(x),或者du/dx 所以，这里 我们改写成du/dx 我想你可以看到准备如何证明 现在，这里 我们用它写的方式来看 我们还不能称之为dy/du 因为这个是当 𝛿x 趋近0的时候的极限 不是 𝛿u 趋近于0时的极限 但是我们需要提醒自己 上个视频得到的结果 取决于你如何看它 也就是，如果你有一个函数u， 在某个点是连续的 当 𝛿x 趋近于0， 𝛿u 趋近于0， 所以，我们实际上把这个改写 我们把它写在这里 不是 𝛿x 趋近于0， 这个会产生作用 因为u在x处可微分 也就是说，它在x处连续 意味着 𝛿u 趋近于0 随着x的变化越来越小 u的变化会 变的越来越小 所以我们可以改写成 u的变化趋近于0 当我把它写成这样， 这个是dy/du 这个是dy，dy的微分，相对于u 所以，像它一样， 如果我们假设y和u在x处可微分 或者你可以说，y是u的函数 而u是x的函数 我们刚刚显示了，用一些简单的算法， 使用一些 关于可微分性和连续性的假设 情况就是如此 y相对于x的导数 等于y相对于u的导数 乘以u相对于x的导数 希望你认同这样的证明