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主要内容

如果函数 u 在 x 处连续,则 Δu→0 为 Δx→0

Sal表明,如果函数是连续的,则函数值的差异接近0,因为x值的差异接近0。这也是定义连续性的另一种方式。

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视频字幕

我希望在这个视频中给大家展示的结果 我希望在这个视频中给大家展示的结果 或者说给大家一个直觉认知,是关于 我们在证明链式法则时要用到的一些东西 或者说证明链式法则的方法之一 我们不单是要证明链式法则 还要得到一个结果就是 一旦看到一个函数 u(x) 一旦看到一个函数 u(x) 如果已知在 x = c 处函数是连续的 如果已知在 x = c 处函数是连续的 那么就意味着 u 的变化量 ∆u 会趋于 0 当 x 的变化量 ∆x 在 x = C 附近趋于 0 时 当 x 的变化量 ∆x 在 x = C 附近趋于 0 时 这就是我想要得到的直觉认知 如果 u 在 c 处连续 那么当 x 在 c 附近的变化量越来越小 那么当 x 在 c 附近的变化量越来越小 直至趋近于 0, 那么 u 的变化量也趋近于 0 直至趋近于 0, 那么 u 的变化量也趋近于 0 为了理解这点,或者更严格的证明它 为了理解这点,或者更严格的证明它 我们来想想 在 x = c 处连续 是什么意思 我们来想想 在 x = c 处连续 是什么意思 我们关于连续的定义是这样的 这和下面这种说法是一样的 当 x --> c 时, Lim u(x) = u(c) 当 x --> c 时, Lim u(x) = u(c) 当 x 趋近于 c 时,函数的极限值等于函数在 c 点的值 当 x 趋近于 c 时,函数的极限值等于函数在 c 点的值 当 x 趋近于 c 时,函数的极限值等于函数在 c 点的值 这里没有点间断或者跳跃间断 这里没有 点间断 或者 跳跃间断 如果有一个跳跃间断 那么极限就不存在了 这在之前的视频中讲到过了 现在我要用代数的方法来推导它 这里实际上给出了这个结论 这里实际上给出了这个结论 我们可以把它改写 重要的一点是,要看得出 u(c) 是等于某个数值的 重要的一点是,要看得出 u(c) 是等于某个数值的 它看起来像是一个关于 x 的函数 它看起来像是一个关于 x 的函数 不是的,它是某个数值 我在这里输入了 c 然后对它的函数求值 所以这是一个数值 可以是 5,7,或者 圆周率 pi 或者 -1 总是要等于某个数值的,某个常数 所以就可以把它视为常数 所以这里还可以表达为 x 趋于 c 时 (u(x) - u(c)) 的极限 (u(x) - u(c)) 的极限 =0 实际上,在证明可微性意味着连续性的视频中 实际上,在证明可微性意味着连续性的视频中 我们是从这个式子开始 推导出了上面这个的 我们证明了这两个是等同的 但希望你们可以直观的看出来 但希望你们可以直观的看出来 这不就是在说,x --> c 时,lim u(x) = u(c) 这不就是在说,x --> c 时,lim u(x) = u(c) 所以计算下面这个极值时 x --> c 时,lim u(x) 趋于 u(c) x --> c 时,lim u(x) 趋于 u(c) 因为上面已经给出了 u(c) - u(c) 肯定是等于 0 的 u(c) - u(c) 肯定是等于 0 的 希望你不会觉得这太牵强 你也可以等式两边同时减去 u(c) 你也可以等式两边同时减去 u(c) 利用极值属性也可以得出这个结果 但是有趣的是这里 这个式子可以得出这里 也就是, 当 ∆x 越来越小 越来越小 最后趋于 0 时 ∆u 也将趋于 0 下面我画个图能更容易懂 下面我画个图能更容易懂 这里是横轴 啊哦 横轴 x 纵轴就叫 u 吧 我特意叫它 u 轴 因为证明链式法则的视频就用的这个变量 因为证明链式法则的视频就用的这个变量 假设这就是函数的曲线 假设这就是函数的曲线 在这里取一点为点 c 在这里取一点为点 c 这里就是 u(c) 这里就是 u(c) 然后取任意一点为点 x 然后取任意一点为点 x 那么这里就是 u(x) 如果定义变化值 我写这里 定义 u 的变化量 ∆u 等于 u(x) 减去 u(c) 这说得通对吧 因为这就是 u 的变化量 = u(x) - u(c) = u(x) - u(c) 我们再定义 x 的变化量 ∆x 等于 x 减去 c 是图上这里 = x - c 然后就可以改写这个极限表达式了 然后就可以改写这个极限表达式了 把 x 趋于 c 改为 ∆x 趋于 0 因为 x 趋于 c 那么 ∆x = x - c 就趋于 0 极限表达式就改写为 ∆x --> 0 时 lim ∆u = 0 ∆x --> 0 时 lim ∆u = 0 我们定义的就是 这个是 u 的变化量 它的极限值等于 0 另一个思路是 当 ∆x 趋于 0 时 函数 u 的变化量 ∆u 也是趋于 0 的 写下来,当 ∆x --> 0 时 ∆u --> 0 就是写在这里的这句 如果 ∆x --> 0 则 ∆u --> 0 如果 ∆x --> 0 则 ∆u --> 0 很多种思路,这都是常识 我们对于一个连续函数 我们来看图 当 x 的变化量越来越小,越来越小 当 x 的变化量越来越小,越来越小 也就是 ∆x 越来越小,越来越小 也就是 ∆x 越来越小,越来越小 因为它是连续的 对于一个不连续函数就不能这样说了 对于一个不连续函数就不能这样说了 但是这里因为是连续的 ( 刚才应该说 对于一些不连续函数就不能这样说了) 当 ∆x 越来越小,越来越小 当 ∆x 越来越小,越来越小 那么 ∆u 也跟着越来越小,越来越小 那么 ∆u 也跟着越来越小,越来越小 这是很直观的 希望你都非常明白了 因为我们后面的视频还会用这个来证明链式法则 因为我们后面的视频还会用这个来证明链式法则 因为我们后面的视频还会用这个来证明链式法则