从乘积和链式法则演变而来的商法则

我们已经知道乘法法则是这样的 如果有两个函数相乘 比如 f(x) 和 g(x) 对它们求导 就等于第一个函数的导数 f '(x) 就等于第一个函数的导数 f '(x) 乘以第二个函数 g(x)，加上第一个函数 这里是不求导的 f(x) 乘以第二个函数的导数 g'(x) 一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换 一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换 所以这里是 f(x)导，g(x)不导 这里是 g(x)导，f(x) 不导 我们就复习到这 这是乘法法则 接下来是要用乘法法则来做 接下来是要用乘法法则来做 很多微积分书中所说的除法法则 我对除法法则很纠结 如果你还记得除法法则，那就好办了 其实它就是直接来自乘法法则的 说实话我总是忘掉除法法则 然后用乘法法则重新推导出来 来看看是怎么玩的吧 假设有一个表达式 f(x) 除以 g(x)，f(x) / g(x) 然后对它求导 d/dx [f(x) / g(x)] 这里的关键是我们要能看出 d/dx [f(x) / g(x)] = 其中 f(x) / g(x) 可以写为 f(x) g(x)⁻¹ （负1次方） 这样就可以用乘法法则了 结合一点点链式法则 那这等于什么呢？ 来，就用乘法法则 先是第一个函数的导数 也就是 f '(x) 乘以第二个函数，也就是 g(x)的-1次方，再加上第一个函数 也就是f(x)，乘以第二个函数的导数 也就是f(x)，乘以第二个函数的导数 这里我们就要用一下链式法则了 把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导 把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导 把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导 等于 -1 乘以它的 -2次方 本题中就是 (-1) g(x) ⁻² 然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导 然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导 也就是g'(x) 这样就做完了 我们使用乘法法则和链式法则完成了求导 我们使用乘法法则和链式法则完成了求导 但数学书中的除法法则不是这样的式子 但数学书中的除法法则不是这个样子 但数学书中的除法法则不是这个样子 那咱们来看看能不能化简 所有这些都等于 -- 我们先写这一项 这里写成 f '(x) / g(x) 后面这一大堆写成 —— 先把负号提到前边 就得到 - f(x) g'(x) 然后除以 g(x)² 我写整齐点儿 然后除以 g(x)² 可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式 可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式 所以继续把两个分数相加 这项的分子和分母同乘 g(x) 这样两个分数的分母都是 g(x)² 这样两个分数的分母都是 g(x)² 这里分子乘以 g(x) 后 是 f '(x) g(x) 分母是 g(x)² 现在可以相加了 所以 f(x) / g(x) 的导数等于 所以 f(x) / g(x) 的导数等于 f '(x) g(x) 减去--不是加法了 我换白色写，- f(x) g'(x) 所有这些，除以 g(x)² 所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则 所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则 有时候可能比这个公式更好记 做题也会更快 而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律 而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律 都是一个函数的导数乘以另一个函数 然后是后一个函数的导数乘以前一个函数 这两项不是（乘法法则的）相加了，而是（除法法则的）相减 然后再除以第二个函数的平方 分母是什么，这里就是什么的平方 所以这里要对分母中的函数求导 所以这里要对分母中的函数求导 还要用减法，然后再除以分母函数的平方 还要用减法，然后再除以分母函数的平方