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主要内容

链式法则

链式法则告诉我们如何找到复合函数的导数。 了解关于复合函数的知识,并学习如何正确应用链式法则。
链式法则说:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
它告诉我们如何对复合函数进行求导。

快速回顾什么是复合函数

一个函数能被写成f(g(x))的形式则可被称为复合函数。换言之,它是一个函数内含另一个函数,或者说函数的函数。
比如说,cos(x2)是一个复合函数,因为如果f(x)=cos(x)g(x)=x2,则cos(x2)=f(g(x))
gf里的函数,所以我们称g为“内” 函数,f为“外”函数。
cos( x2 )
另一方面,cos(x)x2不是一个复合函数。它是f(x)=cos(x)g(x)=x2乘积,但两个函数都不在对方的函数里。
问题1
g(x)=ln(sin(x))是一个复合函数吗?如果是,“内”函数和“外”函数分别是什么?
选出正确答案:

常见错误:无法识别出复合函数

通常,链式法则是唯一能对复合函数进行求导的方法。如果我们无法正确识别出必须要使用链式法则的复合函数,则我们无法正确求导。
另一方面,对不是复合函数的函数使用链式法则,也会得到错误的导数。
特别是超越函数(例如,三角函数,对数函数),学生通常会混淆ln(sin(x))ln(x)sin(x)的乘积。
问题2
h(x)=cos2(x)是一个复合函数吗?如果是,“内”函数和“外”函数分别是什么?
选出正确答案:

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常见错误:错误识别内外函数

即使学生能识别出复合函数,也有可能错误分解内外函数。这肯定会导致错误的求导。
比如说,在复合函数cos2(x)里,外函数是x2,内函数是cos(x)。学生通常会被这类函数弄糊涂,错误认为cos(x)是外函数。

链式法则使用实例

让我们来看一下如何用链式法则对h(x)=(56x)5进行求导。请注意h是一个复合函数:
h(x)=( 56x )5g(x)=56x内函数f(x)=x5外函数
因为h是一个复合函数,我们可以用链式法则来求导:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
用文字阐述出来,这个法则讲的是,复合函数的导数等于,内函数g代入外函数f的值之导数,乘以内函数g的导数。
在使用链式法则之前,我们需要先找到内外函数的导数:
g(x)=6f(x)=5x4
现在,让我们使用链式法则:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4

练习使用链式法则

习题 3.A
第3习题集将一步步引导你完成对sin(2x34x)的求导。
sin(2x34x)的内外函数是什么?
选出正确答案:

问题 4
ddx[cos(x)]=?
选出正确答案:

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问题5
xf(x)h(x)f(x)h(x)
19156
23116
G(x)=f(h(x))
G(2)=
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

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问题6
小凯想求(2x24)3的导数。以下是她的计算过程:
第1步:f(x)=x3g(x)=2x24,那么(2x24)3=f(g(x))
第2步: f(x)=3x2
第3步:f(g(x))的导数是:
ddx[(2x24)3]=3(2x24)2
小凯的计算过程正确吗?如果不对,她做错了哪里?
选出正确答案:

常见错误:忘记乘以内函数的导数

学生的一个常见错误是只对外函数进行求导,那就得到f(g(x)),但正确的导数应为f(g(x))g(x)

另一个常见错误:计算f(g(x))

另一个常见错误是在求导f(g(x))时,对两个函数同时求导,即f(g(x))
这也是不正确的。在f(x)里的函数应为g(x),而不是g(x)
谨记: f(g(x))的导数是f(g(x))g(x)。不是f(g(x)),也不是f(g(x))

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