常见的链式法则误解

今天的视频重点讲解大家对 链式法则 经常出错的部分 今天的视频重点讲解大家对 链式法则 经常出错的部分 这些错误就取自真实的大学AP考试，大家经常会错的 这些错误就取自真实的大学AP考试，大家经常会错的 这些错误就取自真实的大学AP考试，大家经常会错的 假设我们要对这个表达式求导 假设我们要对这个表达式求导 假设我们要对这个表达式求导 假设我们要对这个表达式求导 Sin(x) 的自然对数 ln() Sin(x) 的自然对数 ln() 第一个容易犯错的地方 第一个容易犯错的地方 当大家求解这样的超越函数时 当大家求解这样的超越函数时 超越函数只是一个很炫的词，描述那些 比如 三角函数 比如 对数函数 那些不是标准的代数运算的函数 但是当你看到像这样的超验函数，或者它们的组合 但是当你看到像这样的超验函数，或者它们的组合 很多人误以为是函数的乘积了 所以先来看这题 大家可能会误以为 ln(sin(x)) 和 ln(x) • sin(x) 一样了 大家可能会误以为 ln(sin(x)) 和 ln(x) • sin(x) 一样了 大家可能会误以为 ln(sin(x)) 和 ln(x) • sin(x) 一样了 可以看到写出的这两个式子看起来很像 可以看到写出的这两个式子看起来很像 但是这里是两个函数的乘积 如果我们把 ln(x) 换成 f(x) sin(x) 换成 g(x) 这是2个函数的乘积 f(x) • g(x) 这个计算是用乘法法则 所以真的解这题的话是用 乘法法则 所以真的解这题的话是用 乘法法则 但是原本这里是组合函数 是 f (g(x)) 而不是 f(x) • g(x) 这里也换一下 sin(x) 换成 g(x) f (x) 是 对数函数 ln() 是 sin(x) 的自然对数 所以是 f (g(x)) 所以是 f (g(x)) 如果只看 f(x) 是什么，是 x 的自然对数 如果只看 f(x) 是什么，是 x 的自然对数 f (g(x)) 就是 g(x) 的自然对数 也就是 ln (sin(x)) 这是第一个重点 始终要确保 用对了 法则 特别是对 超越函数 如果是组合函数要用到 链式法则，而不是乘法法则 如果是组合函数要用到 链式法则，而不是乘法法则 因为并不是乘法 有的时候是组合函数 有时候是组合函数的乘积 所以才变得更复杂了 一定要密切注意是不是组合函数 一定要密切注意是不是组合函数 另一个很多同学犯错的地方是 已经意识到要用链式法则了 已经意识到要用链式法则了 但计算的时候丢了一部分 我们接着用这个例题讲 来看链式法则的公式 先做外函数 对 内函数 的求导 先做外函数 对 内函数 的求导 回到本题 f(x) 是 ln(x) 本题的表达式是 f(g(x)) 我先做前面这部分 f '(g(x)) 我先做前面这部分 f '(g(x)) 我先做前面这部分 f '(g(x)) 自然对数的求导结果是 1/x 自然对数的求导结果是 1/x 自然对数的求导结果是 1/x 自然对数的求导结果是 1/x 但是这里我们并不是对 x 求导 我们是对 g(x) 求导 所以结果不是 x 分之一，而是 g(x) 分之一 所以结果不是 x 分之一，而是 g(x) 分之一 1/g(x) 我们又知道 g(x) 是 sin(x) 所以等于 1/sin(x) 这里非常容易出错的是 这是教育局的人告诉我们的 很多同学做到这里就完了 这只是计算了公式的第一部分 忘了乘以公式第二部分 所以到这步，还没完呢 咱还得用它乘以 g'(x) 咱还得用它乘以 g'(x) g'(x) 等于啥呢 sin(x) 的求导结果是 cos(x) 那这里 g'(x) = cos(x) 那这里 g'(x) = cos(x) 所以这道例题 最终的求导结果是 我把结果写上面吧，看能不能挤得下 我把结果写上面吧，看能不能挤得下 [1/sin(x)] • cos(x) 我就直接写这里了 1/sin(x) 我得换个颜色 1/sin(x) 乘以 cos(x) 所以再强调一下 前面讲过的容易犯的错，大家都不要犯 前面讲过的容易犯的错，大家都不要犯 我把这个圈起来，别和旁边的连上了 我把这个圈起来，别和旁边的连上了 好，前面讲过的错大家都不要再犯 好，前面讲过的错大家都不要再犯 认清组合函数 不是 ln(x) 和 sin(x) 的乘积 不是 ln(x) 和 sin(x) 的乘积 而是 sin(x) 的对数函数 ln() 之后用到链式法则计算 对外函数求导后，也别忘了内函数 ln'(x) = 1/x 但是 ln'(g(x)) = 1/g(x) = 1/sin(x) 但是 ln'(g(x)) = 1/g(x) = 1/sin(x) 还要再乘以 内函数的求导 还要再乘以 内函数的求导 不要忘了后面这部分 还有一些同学是这样算错的 不是按刚才讲的计算过程来使用 链式法则 不是按刚才讲的计算过程来使用 链式法则 而是在外函数求导时，用了内函数的导数 而是在外函数求导时，用了内函数的导数 看看他们是怎么错的 他们计算的是 f '(g'(x)) f '(g'(x)) 还用这个例题看，f '(x) = 1/x 可是这里他们用了 g'(x) g'(x) = cos(x) 所以很多同学的答案是 1/cos(x) 就是做 外函数求导 时 不是代入 g(x) 计算 而是错把 内函数的导数 g'(x) 代入了 这也不对 所以每一步都不要做错 要计算 外函数 对 内函数 的求导 要计算 外函数 对 内函数 的求导 不是 内函数的导数 而且不要忘了乘以后面的部分 乘以 内函数的导数 希望这些对大家有帮助 如果觉得这些听不懂 可以先去看一下关于链式法则的介绍和例题的系列视频 可以先去看一下关于链式法则的介绍和例题的系列视频 可以先去看一下关于链式法则的介绍和例题的系列视频 学会这整个系列之后 再看今天的视频 这只是帮你确保： 1. 需要用链式法则求解时，不要错用了乘法法则 2. 不要忘了链式法则公式的后面部分，要乘以 g'(x) 2. 不要忘了链式法则公式的后面部分，要乘以 g'(x) 3. 不要算错成 f '(g'(x))， 应该是f '(g(x)) 3. 不要算错成 f '(g'(x))， 应该是f '(g(x))