求复合函数1的微分（链式法则）

我们有一个函数 f(x)， 它等于 cos(x) 的 3次方， 我们也可以这样写， cos(x) 的 3次方， 我们的兴趣在于找出 f '(x) 等于什么 我们要找到 f '(x), 我们会看到 这里链式法则非常有用， 我要做的就是 首先应用链式法则， 然后或许要更加深入挖掘一下， 明确找出我们在这里所做的 和你们看到的 微积分教程所讲解的 链式法则之间的关联。 如果我们有一个函数， 它实质上被定义为一个复合函数， 这里的表达式， 我们让某一项 3 次方， 它不是一个 x 的 3次方， 我们要 cos(x) 的 3 次方， 你可以看作是，我们 取一个函数 cos(x) 然后，我们把它输入到另一个函数， 那个函数求它的 3 次方， 我们这样写， 看看， 你可以说，来，我取 x 我把它放到一个函数里， 那第一个函数是 cos(x)， 首先我们计算 cos， 它可以得出 cos(x)， cos(x)， 然后，我们把它输入到另一个函数， 那个函数求它的 3次方， 它求这一项的 3 次方， 那么结果是什么呢？ 结果就是， 你求什么的 3 次方？ 你求 cos(x) 的 3 次方， cos(x) 的 3 次方， 这是一个复合函数， 你可以把它 看作是这个函数， 蓝色的这个，我们叫它函数 v， 我们把这个函数叫做函数 u 如果我么把 x 输入给 u ， 这就是 u(x)， 然后，我们把 u(x) 输入给函数 v 这个输出 就是 v( )， 这里的输入是什么？ v ( u(x) )， v ( u(x) )， 或者另外一种写法， 有多种方法表示， 这和 v ( cos(x) ) 是一样的。 v ( cos(x) )。 这样 v ，不管你给它输入什么， 它就求它的 3 次方， 如果你写成 v(x)， 它就求 x 的 3次方。 链式法则告诉我们， 或者说，我们对链式法则的理解， 当我们 求一个函数的导数， 这个函数可以表示为一个复合函数，就像这个， 就可以用链式法则，明确一下，我们可以写 f(x) = v ( u(x) )， 我知道我其实在 一遍一遍地讲， 但是我在用有些不同的方式来讲， 因为你第一次学习它的时候， 真正掌握它 或者说深入理解它有点困难， 所以，我要用不同的方式来写。 链式法则告诉我们， 如果你遇到这样的情况， 那么，它的导数， f '(x) , 这些你们在你们的教科书中可以看到， 它就是， 整个的这些对于 u(x) 的导数， 我们可以把它写成 v '( u(x))， 乘以 u 对于 x 的导数， 乘以 u '(x)， 就是这里， 这是链式法则的一种表达方式， 那么，我们怎样来计算它呢？ 同样的，我们给它加上颜色 v 函数， 外面这一层，求某项的函数， 我用蓝色， f '(x)， 另一种表示方法， 我将用更多的微分符号， 你可以把它看作-- 好，我用几个不同写法，-- 你可以把它看作 v 的导数， v 对于 u 的导数， 我要把颜色写对， v 对于 u 的导数， 就是这里的表达式， 乘以 u 的 对于 x 的导数， 乘以 u 对于 x 的导数， 要弄清楚， 你们对微分符号应该很熟悉， 你们会在不同的教科书中看到， 它就是这里的它，只是用不同的符号来表示， 它就是这里的它。 好，我们来计算它， 你们可能对只说概念已经烦了， 它就等于-- 它就等于， 我要把它写出来， 这是导数， 与其只写 v 和 u， 我这样写， 它就是 我想要--我老是用错了颜色， 它就是它的导数-- 我留点空间，-- 乘以另外的一个导数， 相对于另一项， 我们首先求 v 的导数， v 就是 cos(x) 的 3 次方， cos(x)， 我们要求它 对 u 也就是 cos(x) 的导数， 我们要把它乘以 u 也就是 cos(x) 对 x 的导数， 对 x 的导数， 这一项， 我们从前已经见过， 我们知道， cos(x) 对于 x 的导数 cos 我们用同样的颜色， cos(x) 的导数 它就等于 -sin(x)， 这里这一项，就是 -sin(x)， 你或许对于看到这样 来运算导数更熟悉一些， 但是，理论上说，你不会经常看到这种表示， 但它有助于我们脑子里明确理解我们正在做的事情， 我们是在求 cos(x) 对 x 的导数。 好，它就是 -sin(x) ， 那么，求 cos(x) 的 3次方 对于 cos(x) 的导数会怎样呢？ 它的意思是什么？ 如果我求导， 求它的导数， 我这样写， 如果我是求 x 的 3次方的导数， x 的 3次方对 x 的导数， 如果是这样的话， 它就是 我在这里放上括号， 这样可以清楚一些， 我是对它求导， 它就是 它就是 我们把指数放在前面， 也就是 3， 3 乘以 x , 3 乘以 x 的 2次方， 3 乘以 x 的 2次方， 这里，通用的符号就是， 我求某项的导数， 不管这一项是什么， 我用个新的颜色， 我求橘黄圆圈的 3 次方 对于橘黄圆圈的导数， 它就是 3 乘以 橘黄色，或者说黄色圆圈 我把它写成真正的橘黄色， 这样，橘黄色圆圈的 3 次方 对于橘黄圆圈的导数， 就是 3 乘以橘黄圆圈的 2 次方， 所以，如果我求 cos(x) 的3次方 对 cos(x) 的导数， 它就是 它就是 3 乘以 cos(x) 的 2次方， 它的 2次方， 注意，考虑问题的方法就是， 我在求 外面的这个函数相对于里面的导数， 我就会做 与求 x 的3次方的导数一样的运算， 只不过不是 x 而是 cos(x)， 不是 3 x 平方， 而是 3 cos(x) 平方。 然后，链式法则指出， 如果我们最终要得到 对于 x 的导数， 我们要求 cos(x) 对于 x 的导数， 我知道这不容易一下说清楚，但我们到了最后一步， 我们现在已经得到了导数， 它就是，这一项乘以它， 我们看到，它就是 -3， -3 乘以 sin(x) 乘以 cos(x) 的平方， 我知道要有比较长的过程来讲解它， 我努力在讲解它的同时解释链式法则， 但是你一旦你学会了，你就会说， 让我对外面的 某项的 3次方对内部某项的导数， 我们把 cos(x) 当作 x 来处理， 它就等于， 如果我这样做，它就等于 3 cos(x) 平方， 这就是这一部分， 然后我要求 内部对于 x 的导数， 它就是 - sin(x) 。