求复合函数2的微分（链式法则）

所以我们现在有f(x) 等于 x 的平方根的自然对数 我们想在这个视频里做的是 求f的导数 关键点在于这里的f 可以被看作两个函数的复合 接着我们可将之画出，这是一番怎样的景象呢？ 如果你往我们的函数f输入x 你将做的第一件事是什么呢 好的，你求出了它的平方根 所以我们从一些自变量x开始，你将之输入 你做的第一件事是求其平方根 你将求其平方根 接着你将做什么呢 你找到了它的平方根接着 你要求它的自然对数 所以你接着求它的自然对数 所以你可将之视作把它输入进 另一个函数，以求它的自然对数 我将做些小方块 以展示你输入的内容 接着你创造了什么呢 好了，你创造出了x的平方根的自然对数 x的平方根的自然对数 这将等于f(x) 所以你可以将f(x)视作整体 我猜你可能会说 这种函数的组合就在这 f(x), 本质上是两个函数的复合 你往一个函数中输入自变量x 得到输出结果后将之输入另一个函数 所以你在这可以有个函数u 其等于输入自变量的平方根 所以u(x)等于x的平方根 接着你取它的输出值 再将之输入另一个我们将之称作v的函数 那么v是什么呢 我们将取输入量的自然对数 在这种情况下，f将等于 我将其图解一下，v正在求输入值的自然对数 输入值即为x的平方根 所以整体输出值将为x的平方根的自然对数 如果我们将v(x)写作输入值 我们将说，这就是自然对数 x的自然对数 并且如你所见，f(x) 和我之前用其他颜色标注出的 将等于，f(x)将等于 x的平方根的自然对数 所以就是将x的自然平方根输入v，换言之是v(u(x)) 这就是这个排版可告诉你的 好，现在我将找出这里的导数 那么链式法则在这将变得非常有用 接着链式法则告诉我们f'(x) 将等于 你可以将它看做基于内在函数的统一展现的“外在”函数 所以这将等于v'(u(x)) v(u(x)) 乘上内部函数基于x的导数 所以这将是u'(x) 所以我们将如何得出这些东西？ 我们知道如何求出u(x)的导数 和v(x)的导数，这里是u'(x),将等于 请记住，x的平方根等于x的1/2次幂，所以我们可以使用幂定律 将1/2取出所以我们在这得到1/2x 从它的指数中减去1 所以1/2减去1将等于-1/2 接着v(x)是多少呢？抱歉，是v'(x) 自然对数的导数是1/x，我们在另一个视频中展示了 所以我们知道u'(x)的值， v'(x)的值，但v'(u'(x))的值是多少呢 好的v'(u'(x))，无论我们在哪看见x, 我们将之替换，让我将它写得整洁点 我们用u'(x)将之替换，所以v'(u'(x)) 将等于 将等于1/u(x) 1/u(x),将等于 将等于 1除以x的平方根 1除以x的平方根 这就是这个式子想表达的，我们将其求出来了 它就是1/x的平方根， 接着这东西，u'(x)我们求出是 1/2乘x的-1/2次幂 我可以将之改写为1/2乘1除以x的1/2次幂。它 和1/2乘1除以x的平方根是相同的 或者我可将之写作1/2乘x的平方根 所以事情将怎样发展呢？ 所以这将等于，用绿色写出 v'(u(x))等于1/x的平方根 乘上u'(x)等于 1除以2倍x的平方根，现在它将等于多少呢 这将等于 在这个点上仅剩代数的问题了 1除以，2倍x的平方根乘上x的平方根，就等于x 所以我们将之简写成1/2x 希望你理解了 我故意将之画出来 所以你将在认识这些函数的过程中得到该解法的肌肉记忆 并接着会更加理解 你可能在你的微积分课或你的微积分课本中见到的链式法则的表达 随着你做越多的练习，你将能够处理它 实质上，你根本不需要像这样将之完全写出 你将说，好的，我有个复合式 这是x的平方根的自然对数 这是v(u(x)) 所以我想做的是求出该基于内在函数式的外在函数式的导数 所以某值的自然对数的导数 是基于某值，是1除以某值 所以这是1除以某值 某值的自然对数的导数 是基于某值，是1除以某值 所以这就是我们在这做的 另一种思考方式是，x的自然对数是？ 那个是1/x，但不是x的平方根 这是1/x的平方根 所以这是1/x的平方根 所以你将求出基于内在函数的外在函数的导数 接着你将内在函数式的导数式相乘 我们做完了