识别复合函数

【讲师】今天我们要复习复合函数的概念 【讲师】今天我们要复习复合函数的概念 并掌握识别函数组合方式的技能 并掌握识别函数组合方式的技能 如果你从来没听过复合函数这个名词 或者这个视频的前几分钟听着陌生 或者这个视频的前几分钟听着陌生 我推荐大家先去看可汗学院代数部分关于复合函数的视频 我推荐大家先去看可汗学院代数部分关于复合函数的视频 这次课的目的是，在学习微积分必要的技巧之前，做一些练习 这次课的目的是，在学习微积分必要的技巧之前，做一些练习 这次课的目的是，在学习微积分必要的技巧之前，做一些练习 尤其是链式法则 我们先来复习什么是复合函数 假设有 f (x) 假设有 f (x) f (x) = 1 + x 另外有 g(x) g(x) = cos(x) g(x) = cos(x) 那么 f (g(x)) 是什么呢？ 那么 f (g(x)) 是什么呢？ 我建议大家暂停视频，自己试着求解 我建议大家暂停视频，自己试着求解 好，一个思路是这样 把 f (x) 中的变量 x 替换为 g(x) 把 f (x) 中的变量 x 替换为 g(x) 所以在 f (x) 中所有看到 x 的地方，都换为 g(x) 所以在 f (x) 中所有看到 x 的地方，都换为 g(x) 所以在 f (x) 中所有看到 x 的地方，都换为 g(x) 那么就等于 1 + 什么呢 那么就等于 1 + 什么呢 所有原本是 x 的地方都换为 g(x) 所有原本是 x 的地方都换为 g(x) f (g(x)) = 1 + g(x) 又已知 g(x) = cos(x) 再把这里的 g(x) 换为 cos(x) f (g(x)) = 1 + cos(x) 一种形象化的思路是 我首先把 x 代入到 g(x) 也就是 x 代入到函数 g，并输出 g(x) 也就是 x 代入到函数 g，并输出 g(x) 之后再把这个输出结果 g(x) 代入到 f(x) 之后再把这个输出结果 g(x) 代入到 f(x) 或者说代入函数 f，我应该这样说 或者说代入函数 f，我应该这样说 然后输出 f ( )，无论代入的是什么 然后输出 f ( )，无论代入的是什么 咱们代入的是 g(x) 现在复习到这里了 我们看看能不能用其他思路理解 看看能不能用某个函数定义表示 看看能不能用某个函数定义表示 看能不能把它表示成其他函数的组合 看能不能把它表示成其他函数的组合 来，我们假设 已知 g(x) = cos (sin(x) + 1) 已知 g(x) = cos (sin(x) + 1) 已知 g(x) = cos (sin(x) + 1) 我还想表明 通常都是不止一种组合方式 或者构造一个基于其他函数组合的函数 或者构造一个基于其他函数组合的函数 说到这里，先插一句 我能把 g(x) 表示成另外两个函数的组合吗 我能把 g(x) 表示成另外两个函数的组合吗 比如一个 f (x) 一个 h (x) ? 有几种方法可以考虑 咱们一起看一下 这里有个 sin(x) 我把它称为函数 f(x) 吧？ 称为。。。 嗯，我还是换一个吧，免得和刚才那些混淆 嗯，我还是换一个吧，免得和刚才那些混淆 我称它为函数 u(x) 把这个 sin(x) 称为 u(x) 这里就是 cos (u(x) +1) 这里就是 cos (u(x) +1 ) 如果我们再定义一个函数 v(x) 令 v(x) = cos(x+1) 这样就是组合函数 v(x) 和 u(x) 了 这样就是组合函数 v(x) 和 u(x) 了 把 v(x) 中的 x 代入为 u(x) 那就是 cos( u(x) +1 ) 我写下来 v (u(x)) = 其中 u(x) = sin(x) v (u(x)) 等于 cos() 里面的 x+1 就成了 u(x)+1 cos() 里面的 x+1 就成了 u(x)+1 而 u(x)，我写这里 u(x) = sin(x) 这就是咱们刚刚定义的 所以这里写 u(x) 也可以 写 sin(x) 也可以 这和之前的完全一样 所以这个函数 g(x) 因为 u(x) = sin(x) 因为 u(x) = sin(x) 且 v(x) = cos(x+1) 那么函数 g(x) 作为 这两个函数的组合 那么函数 g(x) 作为 这两个函数的组合 你甚至可以用三个函数来组合 我们还保留 u(x) = sin(x) 再定义一个 w(x) = x +1 再定义一个 w(x) = x +1 然后我们看 w(x) 呃，我是说，w(u(x)) 我换回同样的颜色 w(u(x)) = 我代入的不再是 x 了，而是 u(x) 所以是 u(x) +1 或者直接写成 sin(x) +1 或者直接写成 sin(x) +1 然后我们再定义第三个函数 我们叫它。。。 叫函数 h 吧，都没变量可用了哈 尽管还有那么多字母 我们定义 h(x) = cos(x) 我们定义 h(x) = cos(x) 然后令 g(x) = h(w(u(x))) 然后令 g(x) = h(w(u(x))) 我写下来 h(w(u(x))) = h(w(u(x))) = 记住， h(x) 就是无论代入什么都是求 cos() 记住， h(x) 就是无论代入什么都是求 cos() 所以这里呢 代入的是 w(u(x)) 我们已经求得 w(u(x)) 是这一行 我们已经求得 w(u(x)) 是这一行 也就是 sin(x) +1 其中 u(x) = sin(x) 然后再代入 w() 就得到 sin(x) +1 再把这些代入 h() 得 cos() 就是我们最开始的表达式 等于 g(x) 所以这里的重点是，理解如何识别函数的组合 所以这里的重点是，理解如何识别函数的组合 现在我想强调，也并不全都是函数的复合 现在我想强调，也并不全都是函数的复合 比如，有的函数是这样 我擦掉这些 假设已知 f(x) f(x) = cos(x) • sin(x) 这很难把它表示成函数的组合 这很难把它表示成函数的组合 但我可以用函数的乘积来表示 例如，我定义 cos(x) 为 u(x) 例如，我定义 cos(x) 为 u(x) 再定义 v(x) 换个颜色 v(x) = sin(x) 那这里的 f(x) 不是函数 u 和 v 的复合函数 而是它们的乘积 f(x) = u(x) • v(x) f(x) = u(x) • v(x) 如果我们改求复合函数 u(v(x)) 暂停视频，思考一下，也是一种复习 暂停视频，思考一下，也是一种复习 u(v(x)) = u() 就是求 cos() 现在代入 v(x)， 也就是 sin(x) u ( v(x) ) = cos (sin(x)) 如果你要求 v (u(x)) 那就反过来 等于 sin (cos(x)) 无论求什么 都是帮我们学会，如何识别 那当我看到一个表达式或函数定义时 它是函数的乘积呢 还是复合函数呢？ 有时候你还会看到复合函数的乘积 或复合函数的商 或各种能把函数放在一起组成新函数的组合方式 或各种能把函数放在一起组成新函数的组合方式