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课程 7: 求函数微分的解题策略

求函数微分的解题策略

微分有很多不同规则，也有很多不同的方法可以应用这些规则！让我们更广泛地看待微分，并提出一个工作流程，使我们能够有效且无错误地求出任何函数的导数。

许多使用微积分的同学非常了解求导法则，但仍然苦于在不同的情况下应用不同的求导法则。为了减轻这种困难，我们希望学会快速将函数分类，且知道应用哪种法则，甚至改写成不同形式的函数来简化微分。

为了参考起见，下面是常见的求导法则归纳：

名称	法则
幂	$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n \cdot x^{n - 1}$ ‍
和	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
积	$\frac{d}{d x} [f (x) \cdot g (x)] = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ‍
商	$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ ‍
链	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ‍

我们将聚焦于最后三条法则，因为在应用它们时较有挑战性。

找出积、商及复合函数

大多数求导法则告诉我们怎样微分一类具体的函数，例如

\sin (x)

的求导法则，或是幂法则。

但是有三个非常重要的法则具有普适性，并取决于要进行微分的函数结构。它们是积、商、和链式法则。注意留心识别它们并反思：“这是积、商，或复合函数吗？”

积：如果你看见类似于

(x^{2} + 1) \cdot \sin (x)

的结构，你就要注意这是两个函数的积了。这种情况下你可以应用 乘法法则。

商：同理，如果你看见类似于

\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}

的结构，你要注意这是一个函数被另一个函数除，此时可应用 除法法则 。

复合函数： 最后，如果你看见类似于

(2 x^{2} - 4)^{5}

的结构，尝试把它想成内函数和外函数：

\underset{外}{\underset{⏟}{(\overset{内}{\overset{⏞}{2 x^{2} - 4}})^{5}}}

这类函数称为复合函数，你可以应用 链式法则 来求出它的导数。

问题1

小杰想求

(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)

的导数。下面是他的计算过程：

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x^{2} + 5 x) \cdot \sin (x)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \cdot \frac{d}{d x} [\sin (x)] \\ = (2 x + 5) \cdot \cos (x) \\ = 2 x \cdot \cos (x) + 5 \cdot \cos (x) \end{aligned}

小杰的解法是否正确？如果不正确，错在哪里？

常见错误：忘记应用乘法或除法法则。

记住： 取导数的乘积不同于应用乘法法则。

同理，取导数的商不同于应用除法法则。

问题2

小李想求

\sin (x^{2} + 5 x)

的导数。下面是他的计算过程。

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x) \cdot (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [\sin (x)] \cdot (x^{2} + 5 x) + \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \\ = \cos (x) (x^{2} + 5 x) + \sin (x) (2 x + 5) \end{aligned}

小李的解法是否正确？如果不正确，错在哪里？

常见错误：混淆函数符号和乘法

正如我们在问题2中看到的，

\sin (x^{2} + 5)

是一个复合函数，其外函数是

\sin (x)

，内函数是

x^{2} + 5

。但是有些人弄混了函数符号，认为这是乘积

\sin (x) (x^{2} + 5)

。这完全是另一种不同的函数，微分后会求出错误的导数。

我们可以改写函数来简化微分。

认请一点：应用乘法、除法和链式法则的工作量会很繁重，尤其是除法法则。所以我们为什么要做不必要的工作呢？以下三个例子亮出了一些改写积和商来简化微分的过程。

让表达式微分更高效不仅是为方便起见；微分式越简短，在过程中越不容易犯错！

有时我们可以将积改写为简单的多项式。

我们可以应用乘法法则来微分

(x + 5) (x - 3)

，但是我们其实做了许多不必要的工作。我们可以扩写表达式为

x^{2} + 2 x - 15

，然后应用幂法则得到导数

2 x + 2

。

为了更加直观的显示两者的区别，看看本该用乘法法则的繁重计算量：

乘法法则	幂法则
$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x + 5] \cdot (x - 3) + (x + 5) \cdot \frac{d}{d x} [x - 3] \\ = (1) (x - 3) + (x + 5) (1) \\ = x - 3 + x + 5 \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15] \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍

澄清一点：两种方式都正确，但是用幂法则可以节省计算时间，又能减小在计算过程中犯错的可能。

问题3

f (x) = (3 - 8 x) (2 x - 7)

怎样改写 $f (x)$ ‍ 后可以应用幂法则来微分？

同理，也可以改写除法法则的问题来应用幂法则。

我们可以应用商法则来对

\frac{x^{6} - 8 x^{3}}{2 x^{2}}

求导。但是先做除法可以更容易，化简得到

0.5 x^{4} - 4 x

，然后应用幂法则求导数

2 x^{3} - 4

。我们只需要记住，对于

x = 0

，该函数是没有定义的，因此导数也是这样。

如果应用除法法则，步骤会更繁琐，我们会得到相同的结果。但是会增加在计算过程中犯错的概率。

不是任何商都可以用这种方式改写。例如，

\frac{x^{2} + 5 x - 14}{x - 7}

不能被简化为多项式。

记住： 当商的分母为单项式时你可以使用这种方法。

当分母是超过一项的多项式时，你需要用因式分解及约分来进行简化。

在重写商的时候，不要忘记考虑定义域。

问题 4

f (x) = \frac{x^{5} - 2 x^{3} - 8 x^{2}}{x}

你将如何重写 $f (x)$ ‍，以便可以使用幂规则对其进行求导？
假设 $x \neq 0$ ‍.

最后的例子：改写商为积

对于很多人来说，乘法法则比除法法则更容易记住。庆幸的是我们可以改写商为积。

假设我们想要微分

\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}}

但是记不清除法法则不同项的顺序了。我们可以先将分子和分母分成单独的因式，然后用负指数来改写分母，这样就没有商了。

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}} & = \sqrt{x + 3} \cdot \frac{1}{x^{4}} \\ = \sqrt{x + 3} \cdot x^{- 4} \end{aligned}

现在我们准备好应用乘法法则了。 (注意：我们可能用到链式法则来处理平方根下的函数。)

问题5

h (x) = \frac{\sin (x)}{3 x}

怎样改写 $h (x)$ ‍ 后可以应用乘法法则来微分？

想做更多练习吗？点击练习。

常见的问题： 如果你对计算过程感到陌生的话，那么将根或倒数转换成幂指数可能会有点棘手（比如

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

和

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

）。如果你需要更多练习，查看这些习题：

总结

熟练求导数需要知道何时应用何种法则，也需要找机会改写表达式来简化微分。

以下的流程图总结了这个过程：

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