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主要内容

微分学

课程: 微分学 > 单元 3

课程 7: 求函数微分的解题策略
数学
微分学
导数：链式法则和其他高级问题
求函数微分的解题策略
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求函数微分的解题策略

Google课堂
微分有很多不同规则，也有很多不同的方法可以应用这些规则！ 让我们更广泛地看待微分，并提出一个工作流程，使我们能够有效且无错误地求出任何函数的导数。
许多使用微积分的同学非常了解求导法则，但仍然苦于在不同的情况下应用不同的求导法则。为了减轻这种困难，我们希望学会快速将函数分类，且知道应用哪种法则，甚至改写成不同形式的函数来简化微分。
为了参考起见，下面是常见的求导法则归纳：
名称法则
幂start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
和start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
积start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
商start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction
链start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
我们将聚焦于最后三条法则，因为在应用它们时较有挑战性。

找出积、商及复合函数

大多数求导法则告诉我们怎样微分一类具体的函数，例如 sine, left parenthesis, x, right parenthesis 的求导法则，或是幂法则。
但是有三个非常重要的法则具有普适性，并取决于要进行微分的函数 结构 。它们是积、商、和链式法则。注意留心识别它们并反思：“这是积、商，或复合函数吗？”
积： 如果你看见类似于 start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c 的结构，你就要注意这是两个函数的积了。这种情况下你可以应用 乘法法则。
商： 同理，如果你看见类似于 start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction 的结构，你要注意这是一个函数被另一个函数除，此时可应用 除法法则 。
复合函数： 最后，如果你看见类似于 left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript 的结构，尝试把它想成内函数和外函数：
start color #11accd, start underbrace, left parenthesis, space, start color #ca337c, start overbrace, 2, x, squared, minus, 4, end overbrace, start superscript, start text, 内, end text, end superscript, space, end color #ca337c, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, 外, end text, end subscript, end color #11accd
这类函数称为复合函数，你可以应用 链式法则 来求出它的导数。
问题1
小杰想求 left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis 的导数。下面是他的计算过程：
=ddx[(x2+5x)⋅sin⁡(x)]=ddx[x2+5x]⋅ddx[sin⁡(x)]=(2x+5)⋅cos⁡(x)=2x⋅cos⁡(x)+5⋅cos⁡(x)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x^2+5x)\cdot\sin(x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[x^2+5x]\cdot\dfrac{d}{dx}[\sin(x)] \\\\ &=(2x+5)\cdot\cos(x) \\\\ &=2x\cdot\cos(x)+5\cdot\cos(x) \end{aligned}
小杰的解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
选出正确答案：

常见错误：忘记应用乘法或除法法则。

记住： 取导数的乘积不同于应用乘法法则。
同理，取导数的商不同于应用除法法则。
问题2
小李想求 sine, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis 的导数。下面是他的计算过程。
=ddx[sin⁡(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)⋅(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)]⋅(x2+5x)+sin⁡(x)⋅ddx[x2+5x]=cos⁡(x)(x2+5x)+sin⁡(x)(2x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)\cdot(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)]\cdot(x^2+5x)+\sin(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[x^2+5x] \\\\ &=\cos(x)(x^2+5x)+\sin(x)(2x+5) \end{aligned}
小李的解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
选出正确答案：

常见错误： 混淆函数符号和乘法

正如我们在问题2中看到的， start color #11accd, sine, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd 是一个复合函数，其外函数是 start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd ，内函数是 start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c。 但是有些人弄混了函数符号，认为这是乘积 start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c 。这完全是另一种不同的函数，微分后会求出错误的导数。

我们可以改写函数来简化微分。

认请一点：应用乘法、除法和链式法则的工作量会很繁重，尤其是除法法则。所以我们为什么要做不必要的工作呢？以下三个例子亮出了一些改写积和商来简化微分的过程。
让表达式微分更高效不仅是为方便起见；微分式越简短，在过程中越不容易犯错！

有时我们可以将积改写为简单的多项式。

我们可以应用乘法法则来微分 left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis ，但是我们其实做了许多不必要的工作。我们可以扩写表达式为 x, squared, plus, 2, x, minus, 15 ，然后应用幂法则得到导数 2, x, plus, 2。
为了更加直观的显示两者的区别，看看本该用乘法法则的繁重计算量：
乘法法则幂法则
=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x+5]⋅(x−3)+(x+5)⋅ddx[x−3]=(1)(x−3)+(x+5)(1)=x−3+x+5=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x+5]\cdot (x-3)+(x+5)\cdot \dfrac{d}{dx}[x-3]\\\\&=(1)(x-3)+(x+5)(1)\\\\&=x-3+x+5\\\\&=2x+2\end{aligned}=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x2+2x−15]=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x^2+2x-15]\\\\&=2x+2\end{aligned}
澄清一点：两种方式都正确，但是用幂法则可以节省计算时间，又能减小在计算过程中犯错的可能。
问题3
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis
怎样改写 f, left parenthesis, x, right parenthesis 后可以应用幂法则来微分？
选出正确答案：

同理，也可以改写除法法则的问题来应用幂法则。

我们可以应用商法则来对 start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction 求导。但是先做除法可以更容易，化简得到0, point, 5, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x ，然后应用幂法则求导数 2, x, cubed, minus, 4 。我们只需要记住，对于x, equals, 0，该函数是没有定义的，因此导数也是这样。
如果应用除法法则，步骤会更繁琐，我们会得到相同的结果。但是会增加在计算过程中犯错的概率。
不是任何商都可以用这种方式改写。例如，start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction 不能被简化为多项式。
记住： 当商的分母为单项式时你可以使用这种方法。
当分母是超过一项的多项式时，你需要用因式分解及约分来进行简化。
在重写商的时候，不要忘记考虑定义域。
问题 4
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, divided by, x, end fraction
你将如何重写f, left parenthesis, x, right parenthesis，以便可以使用幂规则对其进行求导？
假设 start text, x, end text, does not equal, start text, 0, end text.
选出正确答案：

最后的例子： 改写商为积

对于很多人来说，乘法法则比除法法则更容易记住。庆幸的是我们可以改写商为积。
假设我们想要微分 start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction 但是记不清除法法则不同项的顺序了。 我们可以先将分子和分母分成单独的因式，然后用负指数来改写分母，这样就没有商了。
x+3x4=x+3⋅1x4=x+3⋅x−4\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^4}&=\sqrt{x+3}\cdot \dfrac{1}{x^4} \\\\ &=\sqrt{x+3}\cdot x^{-4} \end{aligned}
现在我们准备好应用乘法法则了。 (注意：我们可能用到链式法则来处理平方根下的函数。)
问题5
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 3, x, end fraction
怎样改写 h, left parenthesis, x, right parenthesis 后可以应用乘法法则来微分？
选出正确答案：

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常见的问题： 如果你对计算过程感到陌生的话，那么将根或倒数转换成幂指数可能会有点棘手（比如 square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript 和 start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript）。如果你需要更多练习，查看这些习题：

总结

熟练求导数需要知道何时应用何种法则，也需要找机会改写表达式来简化微分。
以下的流程图总结了这个过程：
流程图总结了两个步骤，如下所示。 步骤1.对函数进行分类。 这三个类别是积或商，复合或基本函数。 基本函数的示例包括x的n次幂，x的正弦，x的余弦，e的x次幂以及x的自然对数。 如果函数是积或商，问这个问题，是否可以将函数改为更易于另一种更容易微分的形式？ 如果是，请将函数修改为更易于微分的形式，然后返回步骤1。如果不是，则转到步骤2。如果函数是复合函数或基本函数，也请转到步骤2。步骤2使用适当的导数规则进行微分。

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