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主要内容

求函数微分的解题策略

微分有很多不同规则,也有很多不同的方法可以应用这些规则! 让我们更广泛地看待微分,并提出一个工作流程,使我们能够有效且无错误地求出任何函数的导数。
许多使用微积分的同学非常了解求导法则,但仍然苦于在不同的情况下应用不同的求导法则。为了减轻这种困难,我们希望学会快速将函数分类,且知道应用哪种法则,甚至改写成不同形式的函数来简化微分。
为了参考起见,下面是常见的求导法则归纳:
名称法则
ddx[xn]=nxn1
ddx[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x)
ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)
ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
我们将聚焦于最后三条法则,因为在应用它们时较有挑战性。

找出积、商及复合函数

大多数求导法则告诉我们怎样微分一类具体的函数,例如 sin(x) 的求导法则,或是幂法则。
但是有三个非常重要的法则具有普适性,并取决于要进行微分的函数 结构 。它们是积、商、和链式法则。注意留心识别它们并反思:“这是积、商,或复合函数吗?”
积: 如果你看见类似于 (x2+1)sin(x) 的结构,你就要注意这是两个函数的积了。这种情况下你可以应用 乘法法则
商: 同理,如果你看见类似于 xcos(x) 的结构,你要注意这是一个函数被另一个函数除,此时可应用 除法法则
复合函数: 最后,如果你看见类似于 (2x24)5 的结构,尝试把它想成内函数和外函数:
( 2x24 )5
这类函数称为复合函数,你可以应用 链式法则 来求出它的导数。
问题1
小杰想求 (x2+5x)sin(x) 的导数。下面是他的计算过程:
=ddx[(x2+5x)sin(x)]=ddx[x2+5x]ddx[sin(x)]=(2x+5)cos(x)=2xcos(x)+5cos(x)
小杰的解法是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见错误:忘记应用乘法或除法法则。

记住: 取导数的乘积不同于应用乘法法则。
同理,取导数的商不同于应用除法法则。
问题2
小李想求 sin(x2+5x) 的导数。下面是他的计算过程。
=ddx[sin(x2+5x)]=ddx[sin(x)(x2+5x)]=ddx[sin(x)](x2+5x)+sin(x)ddx[x2+5x]=cos(x)(x2+5x)+sin(x)(2x+5)
小李的解法是否正确?如果不正确,错在哪里?
选出正确答案:

常见错误: 混淆函数符号和乘法

正如我们在问题2中看到的, sin(x2+5) 是一个复合函数,其外函数是 sin(x) ,内函数是 x2+5。 但是有些人弄混了函数符号,认为这是乘积 sin(x)(x2+5) 。这完全是另一种不同的函数,微分后会求出错误的导数。

我们可以改写函数来简化微分。

认请一点:应用乘法、除法和链式法则的工作量会很繁重,尤其是除法法则。所以我们为什么要做不必要的工作呢?以下三个例子亮出了一些改写积和商来简化微分的过程。
让表达式微分更高效不仅是为方便起见;微分式越简短,在过程中越不容易犯错!

有时我们可以将积改写为简单的多项式。

我们可以应用乘法法则来微分 (x+5)(x3) ,但是我们其实做了许多不必要的工作。我们可以扩写表达式为 x2+2x15 ,然后应用幂法则得到导数 2x+2
为了更加直观的显示两者的区别,看看本该用乘法法则的繁重计算量:
乘法法则幂法则
=ddx[(x+5)(x3)]=ddx[x+5](x3)+(x+5)ddx[x3]=(1)(x3)+(x+5)(1)=x3+x+5=2x+2=ddx[(x+5)(x3)]=ddx[x2+2x15]=2x+2
澄清一点:两种方式都正确,但是用幂法则可以节省计算时间,又能减小在计算过程中犯错的可能。
问题3
f(x)=(38x)(2x7)
怎样改写 f(x) 后可以应用幂法则来微分?
选出正确答案:

同理,也可以改写除法法则的问题来应用幂法则。

我们可以应用商法则来对 x68x32x2 求导。但是先做除法可以更容易,化简得到0.5x44x ,然后应用幂法则求导数 2x34 。我们只需要记住,对于x=0,该函数是没有定义的,因此导数也是这样。
如果应用除法法则,步骤会更繁琐,我们会得到相同的结果。但是会增加在计算过程中犯错的概率。
不是任何商都可以用这种方式改写。例如,x2+5x14x7 不能被简化为多项式。
记住: 当商的分母为单项式时你可以使用这种方法。
当分母是超过一项的多项式时,你需要用因式分解及约分来进行简化。
在重写商的时候,不要忘记考虑定义域。
问题 4
f(x)=x52x38x2x
你将如何重写f(x),以便可以使用幂规则对其进行求导?
假设 x0.
选出正确答案:

最后的例子: 改写商为积

对于很多人来说,乘法法则比除法法则更容易记住。庆幸的是我们可以改写商为积。
假设我们想要微分 x+3x4 但是记不清除法法则不同项的顺序了。 我们可以先将分子和分母分成单独的因式,然后用负指数来改写分母,这样就没有商了。
x+3x4=x+31x4=x+3x4
现在我们准备好应用乘法法则了。 (注意:我们可能用到链式法则来处理平方根下的函数。)
问题5
h(x)=sin(x)3x
怎样改写 h(x) 后可以应用乘法法则来微分?
选出正确答案:

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常见的问题: 如果你对计算过程感到陌生的话,那么将根或倒数转换成幂指数可能会有点棘手(比如 x=x1/21x3=x3)。如果你需要更多练习,查看这些习题:

总结

熟练求导数需要知道何时应用何种法则,也需要找机会改写表达式来简化微分。
以下的流程图总结了这个过程:

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