求sin(ln(x²))的导数

现在我们要求 x^2的自然对数的正弦函数的导数 现在我们这个函数里套着函数 这里面又套着另一个函数 你可以这样来思考 设f(x)=sin(x) g(x)=ln(x), h(x)=x^2 那么这个就相当于 对f(g(h(x))) 这个函数求导 我现在要在脑海中 思考这个要怎样求 而不是把一连串的符号写出来 因此我考虑的是 最外面这一个函数 与它括号里 直接相关的这部分 x正弦函数的导数就是它的余弦函数 作为余弦函数 它的函数值就等于这里面变量的余弦 我要用同一种颜色来写这个 这就等于 x^2自然对数的余弦 我要用同样的黄色来写x 你可以把这部分看作 f'(g(h(x))) 这就是f'(g(h(x))) 这样方便你记着自己做到了哪一步 我刚做的是对最外层的函数 对它括号内变量进行求导 现在我要对里面一层函数 对x进行求导 现在我们又有另一个复合函数 我们要算乘法 这次又要运用链式法则 我们要计算的是 ln(x^2) ln(x)的导数是1/x 但是我们现在这个不是1/x 而是1/x^2 澄清一下，这一部分是g'，括号里不是x 如果是g'(x)，结果就是1/x了 但是这里不是x，而是h(x) 也就是x^2 所以这部分就是g'(x^2) 最后，我们就要对 最里面的一层函数进行求导了 我这样来写 我们可以把这个写成g'(h(x)) 我们只需要最后对 最里面的函数对x进行求导就好了 所以函数 x^2对x的导数是2x 乘以h'(x) 让我再来解释一下 这里紫色的部分 这里，这里，还有这里都是同样的 一个是具体的表达，一个是抽象的表达 这个，这个和这个都是同一回事 只是表达有具体和抽象之分 最后，这个和这个也是一样 只是表达形式不同而已 这样我们就差不多算完了 只需要对它进行简化 改变相乘的顺序 就有了2x/x^2 这样就可以消除一些项 x/x，2x/x^2 就等于2/x 我们把所有这些都乘起来 最后剩下的就是2/x 这个就消去了 2/x×cos(ln(x^2)) 这个导数的结果看上去很恐怖 但我们不妨这样想 正弦函数的导数是什么？ 就是余弦函数 这样再往里进一层 这个的导数是什么？ 这里面还套了另一个函数 因此ln(x)的导数 对其变量的导数 就是1比上那个变量 这里我们有了一个1/x^2 这个平方里的一个x被消去了 最后再求最里面这一层函数的导数 整个过程就像剥洋葱 最里面的函数 对x的导数是2x 就在这里 这是1/x^2 在消去任何项之前这是2x 希望能帮助你厘清思路