If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

伪装的导数

Sal将复杂的极限表达式解释为x=2时log(x)的导数的5倍。这样,他就可以使用微分规则来求限值,而不是直接分析极限(这很难!)。

想加入讨论吗?

尚无帖子。
你会英语吗?单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

视频字幕

我们来看看怎么求解 当h趋近0时,5log(2+h)- 5log(2), 去除以h的极限值。 我会给你一点提示 请暂停本视频 试试自己解决这个问题。 想想导数的特性, 特别是对数函数的微分特性。 尤其是以10为底的对数函数。 如果你看到一个没有给基底的对数函数, 你可以假定这是一个10为基底的对数函数。 请暂停本视频,尝试解决本问题。 好了,关键是要记住, 如果我有一个函数f(x), 我在这里写下来。 我写在这里。 函数f(x) 而我想求解 它的导数f’ 在某个点的值, 比如说a, 这等于 当x,不对, 当h趋近0时,f(a+h) - f(h), 然后除以h的极限值。 这非常接近这个极限的定义, 除了这儿有一个5。 幸运的是,我们可以把5提取出来。 我们可以把5提取到前面。 如果极限的表达式里面有一个系数, 根据极限的特性, 我们可以把它放到极限的前面。 像这样, 把这里的两个5, 提取为公因子, 那么整个公式就简化为 5乘以 当h趋近0时,log(2+h) - log(2), 然后除以h的极限值。 现在,你可以看出来这里黄色的部分, 想想看, 这就是, 如果我们让 f(x) = log(x), 然后我们想求解f’, 比如说f’(2)的值, 它就等于 当h趋近0时, log(2+h) log(2+h) 减去log(2), 减去log(2), 然后除以h的极限值。 所以, 这里我们看到的 根据这里给的 定义,就是 f‘(2)。 当f(x) = log(x), 结果就是f‘(2)。 f‘(2)。 怎么求解它呢? 当f(x) = log(x), f’(x)等于多少? 为了求解f’(x),我们不是一定要用到它的极限定义。 事实上,用极限的定义来求解很麻烦, 但是我们知道如何求得 对数函数的导数。 所以, f’(x)等于 1除以我们基底的自然对数, 前面已经提到过了, 我们的基底是10。 所以是1/ln10, 乘以, 再乘以x。 如果这里是自然对数, 那么这里是 1/(lne*x), 而lne = 1, 那么我们就会得到1/x。 但是如果是别的基底 你就需要把该基底的自然对数 放到分母这里。 那么f’(2)的值是多少呢? f’(2) 等于1/(ln(10)*2)。 所以结果就简化了。 最后的结果就是5乘以这一项。 所以我可以把结果写成 5除以 5除以ln10, ln10, 再乘以2, 或者写成2乘以ln10 此类题的关键是, 你可能会想 我能求解这样的极限吗? 其实你会发现 这就是对数函数的导数, 是x=2时的导数值, 我们只需要把5提取出来。 当你把5提取出来后, 这一项就是 x=2时的函数log(x)的导数, 而我们知道如何求解log(x)的导数。 如果你不知道,请看相关视频。 在那些视频中, 我们给出了基底不是e的对数函数的导数, 你只需要用到它, 得到导数 在x=2时的值, 解题完毕!