隐微分法（高级示例）

我们再来间接求导一个 比较复杂的关系式 它的图像在这里 可以看出这很怪异了 e的x乘y平方次方等于x减y 图里的至少是在值域内的 所有满足这个条件的x和y 我们从两边求导 我们从两边求导 或许现在是一个 了解其它符号的好时机 我们一般都用这个符号 但是有时候你也会 见到一个大写的D 那我们这回用这个 让我讲清楚 这等于是d/dx 我只是用这个大写D符号 来让你熟悉一下 然后dy/dx我替换成 y'来表示y的导数 这样算是练习一下 其它符号了 我们计算这里的导数 会利用到链式法则 实际上这里我们会多次 用链式法则 e的某个变量的次方 相对于这个变量的导数 是e的这个变量的次方 乘上这个变量相对于x的导数 所以是乘上xy平方的导数 这是左手边 我们还没结束求导呢 在右手边，x的导数就是1 然后y相对于x的导数 这里是负dy/dx 但是这里我要用y'来代替 估计你看出来了我更喜欢这个符号 因为它直接说明了 我是在求相对于x的导数 这里我们只能假设是在 求相对于x的导数 这里我们只能假设是在 求相对于x的导数 不管怎么样，我们还是继续用这个符号 实际上，让我把所有 y'，也就是所有y相对于 x的导数，改成粉色，方便跟踪 再说一次，这等于 e的xy平方的次方乘这个的导数 这个的导数，我们可以用 乘积法则，加上一点链式 法则 所以x的导数是1，然后乘上第二个函数 这等于乘y平方 然后加上 第一个函数x和 y的平方相对于x的导数的乘积 这等于y平方相对于y的 导数，也就是2y 乘y相对于x的 导数，按现在符号是y' 所以这是等于1减y' 跟我们之前做的一样 现在要求解y' 我们分配一下，这是e 的xy平方次方 然后得到的是，y平方乘 e的xy平方次方 这样 加上2xy乘e的xy平方次方 乘y相对于x的导数 等于1减y相对于x的 导数 现在我们把所有y'带到同一边 在两边加上y' 在两边加上y' 在两边加上一个y' 在两边加上一个y' 然后从两边减去这部分 减去y平方乘e的xy平方次方 在两边 减去y平方乘e的xy平方次方 剩下的是2xy乘e的xy平方次方 加1的和乘y' 我们有这么多y'，然后 再加上一个y'，所以我们有这么多加上1个y' 这等于 在两边加上y'之后 y平方乘e的 xy平方次方 现在我们只需在两边除以这个 剩下的就是y相对于 x的导数等于这个，这里我直接复制粘贴了 让我重写一下 往下一点 等于1减y平方乘e的 xy平方次方，除以这部分 再多来点空间 2xy乘e的xy平方次方加1 做完了 看着有点复杂，但本质上和 我们前面做的例题没有区别