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隐微分法(高级示例)

隐函数(x²+y²)³=5x²y²求导。 Sal Khan 创建

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视频字幕

跟之前一样,x和y之间的关系很复杂 我们先看看这看着是什么样的 把所有符合这个关系的x和y画出来 得到的是这个四叶草形状 这个是用Wolfram Alpha画的 但是在这个视频里我想了解的是 你可以从标题猜出来 y相对于x的 变化率 我们得间接得到结果了 我们需要得到这个的间接导数 我们要用间接 求导法 那我们在两边同时 计算相对于x 的导数 同样,我们利用链式法则 某个变量的3次方相对于 自身的导数是3乘 自身的平方 然后我们要将其乘以 这个变量相对于x的导数 所以这个相对于x的导数 等于2x,这是x平方 相对于x的导数,加上y平方 相对于y的导数,等于 2y乘y相对于x的导数 我们在这里再一次使用链式法则 某个变量平方相对于自身 的导数,等于2y,乘这个变量 相对于x的导数,也就是dy/dx 然后这等于 右手边的东西 右边是5乘x乘y平方 我们可以直接提取出5 直接提取出5 5和某个东西的乘积的导数 就是5乘某个东西的导数的乘积 现在我们可以用乘积法则 这等于5乘x平方的导数 也就是2x乘y平方 这是第一个函数的导数 乘上第二个函数 加上第一个函数 x平方乘第二个函数的导数 y平方相对于x的导数是什么? 我们已经算过了 等于y平方相对于 y的导数,也就是2y乘y相对于x的 导数 让我再说清楚我刚刚干了什么 这是这个,然后这是导数 这是当我求导的时候 同理,这是这里 然后当我求导的时候 得到的是这个 相对于x的导数在这 看看我们能否求出dy/dx 在左手边我们要把 紫色的项分配 到这些项里 当你把紫色项分配 到这一项时,得到的是 3乘2x等于6x,乘x平方加y平方 的和的平方 然后把紫色项 分配到这一项,得到的是 2y乘3等于6y乘x平方加y平方 确认一下 2y乘3等于6y乘x平方加y平方 的和的平方,然后我把dy/dx保持为绿色 dy/dx等于……我们可以用5乘 这部分 那所有不是dy/dx的我都用 紫色了 5乘这个 等于10xy平方 然后5乘这部分 等于加10x平方乘y dy/dx 对吧 看着是没错的 现在我们要求解dy/dx 我要做的是在两边 减去这个10x平方项 在两边减去 10x平方乘y dy/dx 10x平方乘y dy/dx . 这不是绿色 y相对于x的导数 在两边减去这个 这样左边就是 dy/dx 然后在两边减去6x 这一项 减6x乘x平方加y平方的和的平方 在两边同时减去 减6x乘x平方加y平方的和的平方 得到什么了 这些消除了 左边是 6y乘x平方加y平方的和的平方 减10x平方乘 dy/dx,也就是y相对于x的导数 y相对于x的导数 等于……这些抵消了 剩下的是10xy平方减6x乘x平方加y平方 的和的平方 现在我们要计算dy/dx 只需在两边除以 这一部分 剩下的就是y相对于x的导数了 这时候应该响起鼓声了 y相对于x的导数 等于这些 我直接复制粘贴了 复制粘贴 这一部分除以 这一部分 这里只是复制粘贴 然后我需要画一个分数线 然后就好了 尽管结果很复杂,但我们用很短的时间 就得到了在任意一点 y相对于x的导数 所以说如果你想 知道在这个点的切线的斜率是多少 让我换一个你可以看得清的颜色 这个点的切线的斜率是多少呢 你要计算这个点的x 坐标,比如说 在这个点x等于这个值 然后你要计算y的值 计算y的值 然后把x和y 代入到这个复杂的表达式里 你就得到这个点的切线斜率了