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用隐函数微分找到切线斜率

Sal 用隐函数微分法求曲线 x²+(y-x)³=28 在 x=1 处的切线斜率。 Sal Khan 创建

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视频字幕

我们已经做了很多隐函数求导的题了, 但我们还没有计算过 在某个给定点上的切线斜率。 这个视频我们就来做这个, 我要做的是计算在 x 等于 1 时的斜率, 当 x 等于 1。 正如你所想的, 当我们对隐函数的求导, 这里就是一个关于 x 和 y 的函数, 所以,最好还是 先知道 x 等于 1 时 y 的值。 我们现在就算, 当 x 等于 1 时,我们这个式子就变成了 1 的平方,还是 1, 加上 y 减 1 的立方,等于 28。 两边同时减 1, 得到 y 减 1 的立方等于 27, 看来数字很好算, 两边同时开三次方, 得到 y 减 1 等于 3。 两边加 1, 得到 y 等于 4。 所以,我们实际上 是要计算点 (1,4) 的斜率, 就在这里。 x 等于 1 时,y 等于 4。 所以我们要计算的就是这个点的切线斜率。 我们来进行隐函数的求导, 我们对这个等式的两边同时求导数, 这是等式,也是函数关系, 取决于你怎么看它。 我们跳过桔色的字,到下面来继续, x 平方对 x 求导就等于 2x, 然后,一个东西的 3 次方对 x 求导, 就等于 3 乘以 这个东西的平方,再乘以这个东西对 x 的导数。 那么它对 x 的导数什么? y 对 x 的导数就是 dy/dx, 然后 x 对 x 的导数就是 1, 所以是减 1。 而右边就等于 0, 一个常数的导数就是 0。 然后我们要解出 dy/dx, 所以我们有 2x, 然后我们把这部分分配进去, 乘以 dy/dx,再乘以 -1, 它乘以 dy/dx,我们有——我写在这里—— 我们有,加上 3 乘以 y 减 x 平方再乘以 dy/dx, 然后用它乘以 -1, 得到 -3 乘以 y 减 x 平方。 然后,当然,所有这些都等于 0。 然后我们就只需要 把这部分移到右边, 所以我们在等式两边同时减去它, 在左边——实际上 所有不含 dy/dx 的项——我用绿色 所以在左边, 只剩下 3 乘以 y 减 x 平方乘以 dy/dx, y 对 x 的导数, 等于——我要在两边都减去它—— 等于 -2x 加上它, 所以我这么写,3 倍的 y 减 x 平方减 2x, 我们是在两边都加上它, 两边都减去它, 减 2x。 然后解出 dy/dx, 我们已经做过很多次了。 要解出 y 对 x 的导数, y 对 x 的导数 就等于 3 倍的 y 减 x 平方减 2x, 整体除以这个部分, 3 乘以 y 减 x 平方, 现在解到这样就可以了。 那么 y 对 x 的导数是什么呢? 在 x 等于 1,y 等于 4 时的切线斜率是多少? 我们只需要把 x 等于 1,y 等于 4 代入这个表达式, 它就等于 3 乘以 4 减 1 的平方 再减 2 乘以 1, 所有这些除以 3 乘以 4 减 1 的平方, 它就等于,4 减 1 就等于 3, 再平方, 等于 9, 9 乘以 3 是 27, 分子就是 27 减 2, 也就是 25。 分母呢,我们有 3 乘以 9,也就是 27, 所以斜率就等于 25/27, 很接近 1,但还不到, 我们在图上看着也差不多。 这个图像是怎么画的呢, 我用的是 Wolfram Alpha, 我应该一开始的时候说了, 不管怎样,希望你有收获。