隐函数微分示例

我们再做几道隐函数求导题， 来计算 y 对 x 的导数， 我们假设 y 是关于 x 的函数。 等式两边同时加上求导符号。 我们来加上求导符号。 首先，在左边， 我们实际上需要用链式法则。 首先，我们求的是 x - y 平方对 x 的导数， 使用链式法则， 它就等于一个东西的平方 对这个东西求导， 它等于 2 倍的 x - y 的 1 次方。 我这里不用写 1， 再乘以，这个东西对 x 求导。 x 对 x 求导就等于 1， 然后是 y 对 x 求导， 它就是我们要计算的。 所以它就是 1 减 dy/dx， 我再写清楚一些， 刚才我是这么做的， 这部分就是 x - y 的平方对 x - y 的导数， 而这部分呢， 就是 x - y 对 x 的导数， 这就是链式法则。 现在我们看等式右边， 它就等于 x 对 x 的导数， 也就是 1， 然后是 y 对 x 的导数。 我就写成 y 对 x 的导数， 最后，是常数对 x 求导， 它就等于 0。 然后，我们看看是否能解出 y 对 x 的导数。 很明显，我们要—— 我写清楚些， 这一部分，我写成 2x 减 2y， 这样我能省些空间。 这是 2x 减 2y，我把 2 分配进去了。 然后我把 2x - 2y 分配到后面的括号中， 所以 2x 减 2y 乘以 1，还是 2x 减 2y。 然后是 2x - 2y 乘以负的 dy/dx， 也就是负的 2x 减 2y， 或者写成 2y - 2x，再乘以 dy/dx。 等于 1 加 dy/dx。 所有 dy/dx 都是桔色。 1 加 dy/dx。 接下来，我们有几个选择， 我们可以两边同时减去 2x - 2y， 我们来试试， 两边同时减去 2x - 2y， 这里，我们也是减去 2x - 2y。 然后，我们可以两边再减去 dy/dx， 这样，我们的 dy/dx 就都在左边了， 而不是 dy/dx 的项就都在右边。 我们开始， 右边减去一个 dy/dx， 左边再减去一个 dy/dx。 然后式子变成什么？ 在左边，它抵消了， 剩下 2y - 2x dy/dx 减去 1 dy/dx， 也就是减 dy/dx。 我写清楚些， 可以写作减去 1 dy/dx。 那么我们可以把两个系数加起来。 化简成 2y 减 2x 减 1，乘以 y 对 x 的导数， 它就等于——在这边，它抵消了， 剩下 1 减 2x 加 2y。 我这样写， 可以这样写，——负的，负 2y， 也就是正的 2y。 然后减去 2x， 然后再加上 1，加 1。 要解出 dy/dx， 我们只需要两边同时除以 2y 减 2x 减 1。 然后我们得到—— 又到了激动人心的时刻， 你也看到了， 最难的部分就是用代数变换解出 dy/dx。 我们得到 y 对 x 的导数 就等于 2y 减 2x 加 1 除以 2y 减 2x 减 1。