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隐函数微分

有些关系不能由显函数表示出来,例如 x²+y²=1。即使对于这样的关系,隐函数也有助于我们求 dy / dx。这是使用链式法则完成的,并将 y 视为 x 的隐函数。例如,根据链式法则,y² 的导数为 2y⋅(dy/dx)。 Sal Khan 创建

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欢迎收看这集隐函数微分 先解释一下隐函数和显函数 的区别 假设函数为 y=x^2+2x+3 这时 变量y 明确由x所定义 怎么知道的呢? 如果给定x 只需把它输入 这个式子 就明确得出y 对吗? 由这个式子就能得出来 但另一方面 如果是这样的式子 x^2+y^2=100 会怎样呢? 如果给定x 依然能算出y 但不那么容易了 假设x=9 这里输入9 得到81 +y^2=100 要减去它 得到y^2=19 数字有点怪 然后得出y= ±√19 依然能解出y 但这个式子 或方程 隐含地定义了y 区别就在这 人们每天讲话都会说的或明确 或含蓄 跟它一样的道理 如果明确的说 我饿了 明确陈述出我饿了 但也可以含蓄的陈述你饿了 可以说 我很长时间没吃东西了 喂 去吃点东西就好了 这就是对饿了的含蓄的 表达 因为没直接告诉他 而其他人需要稍思考一下 才会知道你饿了 就讲到这里 下面求几个微分 现在大家学过的所有的求微分 都是显函数微分 例如这个函数 已知道如何对它求微分了 它定义为显函数 那么只需对其求导 运用导数算子 求等式两边关于x的 变化率 可以这样求 标上导数算子 这有点乱 这边标上导数算子 这边也标上导数算子 本来没打算这样写 所以有点乱 结果如何呢? 它的左边 y随x的变化率 把它写下来 y的变化率 对于y的每段微小变化 x的变化是多少 它等于 已知道怎么求这种导数了 它只是简单的二次方程 所以它=2x+2+0 这里求的是显函数微分 那么这里如何求微分呢? 同样的 也对等式两边运用 导数算子 用另一种颜色表示 把这些全擦掉 因为这已是大家 显而易见的了 把它全擦掉 对这个等式两边 运用导数算子 跟这上面的做法没什么区别 在代数中已学过 对等式一边做某种运算时 也必须同时对另一边 否则它就不再是等式了 运用导数算子 因为这里是对x求导 也可以对y求导 x^2+y^2 需对等式两边都求导 对吗? 100对x求导 对吗? 那么这是d/dx 标上方括号 刚才是圆括号 但应为方括号 x^2 +d/dx y^2 100对x求导是什么? 对于x的每段变化 它变化多少? 它根本不变 恒为100 对吗? 所以它为0 常数关于 任何变量的导数 都为0 所以它只是0 x^2对x求导是什么? 这上面求过了 对吗? 这里求导时 只是每项分别求导 x^2对x求导 为2x 所以得到2x + 现在这一项 可能会有点困惑 将y^2对x求导 在这边算一下 也不是每次求隐函数 微分时都要这样算 但这么做 是为了让大家明白 具体怎么算的 这里定义g=y^2 设这是g 将g对x求导 那么这两边运用导数算子 标上导数算子 这边d/dx 这边d/dx 这是d 就这样吧 得到dg/dx =d(y^2)/dx 到现在 还没做什么 只是重写下来 但链式法则是指什么呢? 链式法则是指 保持同一颜色 我一直在换颜色 任意变量对x求导 或者说 对另一变量求导 =g对y求导 乘以 y对x求导 如果你还未完全理解 链式法则 还有多种方法算它 在微分和积分中见到的 所有这些dg和dy 它们都是指 g的微小变化 y的微小变化 x的微小变化 那么相乘时 可以把它们看成 y的这个微小变化 跟y的这个微小变化一样 它们实质上是分数 可以抵消掉 正因为这样才得到了dg /dx 即g关于x的导数 这就是链式法则的含义 那么根据这链式法则 怎么求出它呢? 已知道dg/dx =dg/dy 但已知g=y^2了 一开始就是 这么定义的 那么g对y求导是什么? 为2y 只需用求导法则 或 多项式法则 但愿大家确信它们讲得通 因为已录过几集证明的视频 然后乘以 dy/dx 这是未知的 实际上 正是这里要求的 那么dg/dx =2y·(dy/dx) 而g就相当于y^2 对吗? 那么这是对g求导 通常对它求导时 不必这样代换成g 从头 算到尾 这里只是为让大家理解 那么它的导数是什么? 由链式法则 应为这个式子 对y求导 即2y 乘以dy/dx =0 如果机械的按步骤算 其实很简单 只需把y当作x 求导 然后乘以 y对x求导 机械地算很简单 但希望大家理解 这是由链式法则得来的 其实链式法则本身 并非是个奇怪的概念 只是分数相乘 这里清理出一些空间 解完这道题 然后再讲一个 必须求隐函数微分的例子 这个题我只是想告诉大家 求隐函数的微分是很有用的 把这部分清除 把它清除 就这样 把它们都清除 以备多讲一些内容 现在可以求y关于x 的导数 两边同减去2x 得到2y(dy/dx)= 只是两边同减去了2x 得到什么? 得到dy/dx= 两边同除以2y 2抵消了 得到-x/y 这个式子很有趣 对吗? 因为这表示什么? 这是半径为10的圆的方程 对吗? 你懂的 r^2 如果学过三角函数及相关知识 就知道 它表示圆在任意点处的斜率 =-x/y 由三角函数可知 x为cos y为sin 因此很有趣 它表示了 导数和正切值是如何相关的 但这里不细讲 只是讲隐函数微分 但有时思考一下也很有意思 那么它跟以前学过的 有什么区别呢? 这里的导数 实际上是关于 x和y值的函数 如果觉得这里y有点怪 如果不喜欢这样 可以代换 这里把y解出来 得到y^2=100-x^2 然后y=± √(100-x^2) 只需把它代到这儿 dy/dx的另一种写法 有时会见到y' 只是换了一种表示法 熟悉一下 =-x/(±√ (100-x^2)) 从某种程度上说 因为这下面有± 这减号没关系 对吗? 因为这是减号时 它变成+ 这是加号时 它变成- 所以可忽略 这里思考一下的话也很有趣 总之 它很有趣 因为习惯上见到的求导数 还没有这样的± 所以可能会比较有意思 现在讲一个 稍难一点的例子 也不算是难题 但其实 我第一次碰到它 可能是在备战AP微积分考试时 也可能就是在AP微积分考试中 所以大家可能也会碰到 但它很简捷 设y=x^x 一开始会觉得很简单 可以用幂法则 或 链式法则 这有两个x 但可能要暂停下来 对它思考一番 因为这道题其实 没那么直接 尽管这里 y是由x明确定义的 如果给定x=3 就得出y=3^3=27 这是显函数 明确用x定义了y 但很难通过显函数微分来算 这是难点所在 那么取自然对数 或者也可取任何对数 这里对等式两边 取自然对数 得到lny= ln(x^x) 为什么这么做呢? 因为现在可以用 对数性质 已知log(a^b)=b·loga 如果忘了的话 可以去看 指数性质的视频 那么用这个性质将它写成 换一种颜色表示 得到lny =x·lnx 现在可对它求隐函数微分 等式两边对x 求导 再换颜色 d/dx 把它写出来 这样能看到是怎么算的 =d/dx(x·lnx) 那么这个式子对x求导 =这个式子 对y求导 乘以dy/dx 那么它对y求导是什么呢? 是1/y 根据链式法则 1/y乘以 dy/dx 只需机械的按步骤算 如果想确保做的对 只要将它对y求导 再乘以dy/dx 只是链式法则 = 现在对它求导 只需用乘积法则 第一项的导数 对吗? 是它乘以它 x的导数是什么? 是1 所以1·lnx +第二项的导数1/x 乘以第一项x 把上面清除 已经超时了 但我现在是YouTube合作伙伴了 所以时间可以加长 但我不想讲的太久 大家会感到厌倦 好了 对它化简 得到(1/y)dy/dx=lnx+ 它抵消了 变成1 对吗? 那么dy/dx =y 只是等式两边同乘以y y·(lnx+1) 现在可以说做完了 但有些人不喜欢这种形式 y随x的变化率 不喜欢定义成关于y的式子 所以代换一下 已知y=x^x 所以它=x^x· (lnx+1) 另一种写法是y' 即y随x的变化率 或 曲线任意点处的斜率 =(x^x)lnx +x^x 只是将x^x分配 但它很简捷 这算是书上碰到的 五星级难题了 数学竞赛中或许会碰到它 让人印象深刻 而令人印象更深刻的是 能认出这个形式 逆推出它是谁的导数 认出它是x^x的导数 这集讲的时间太长了 下一集再见