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展示显函数微分和隐函数微分给出相同的结果

Sal 给出了隐函数微分法和直接微分法如何得出相同导数表达式的示例。 Sal Khan 创建

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视频字幕

在这个视频里我想给你展示 间接求导和 直接求导的 结果是 一样的 比如说这里是 x乘y的平方根等于1 这个其实可以直接 求解出y 在两边除以x,我们得到根号y 等于1/x 然后在两边求平方,得到y等于 x平方分之1,也就是 x的负2次方 如果你想计算y相对于 x的导数,这就很直接了 这就是利用链式法则 dy/dx等于负2x 的负2减1次方——x的负3次方 所以这很直接 但是我想看看我用间接 求导法得到的答案是不是一样的 我们在等式的 两边求导 让我讲清楚这里我们在干嘛 这里是x乘根号y,然后这边是1 当你在左边 求导时 我们要同时用乘积法则 和链式法则 根据乘积法则 我们有两个关于x的函数的乘积 你可以这么想 所以,根据乘积法则 这等于x相对于x 的导数乘上根号y加上x 乘根号y相对于 x的导数 让我写清楚一点 在右手边 这个常数相对于x的导数 就等于0 所以这会化简成什么? x相对于x的导数就是1 这化简成1,然后 剩下的就是根号y 这化简成根号y 然后这个能化简成什么? 根号y相对于x的导数 我们要用链式法则 让我说清楚点 这里是加上x乘上这部分 这个我用蓝色来写 这等于根号y 相对于y的导数 根号y 相对于y本身的导数 或者说y的1/2次方 相对于y的导数,等于1/2 乘y的负1/2次方 再说一次,这是根号y 相对于y的导数 我们见过很多回了 如果说这是根号x相对于 x的导数,得到的就是1/2x的负1/2次方 这里只是替换成了y 但我们还没结束 我们的导数 不是相对于y的 而是相对于x的 这里仅仅是相对于y的 我们需要整个链式法则 我们要乘上y 相对于x的导数,这样整个 表达式的导数才是相对于x的 所以我们乘上y相对于 x的导数 这个我们不知道是什么 这其实是我们想计算的 但是要用链式法则 我们说这是根号y 相对于y的导数乘上y 相对于x的导数 这是这部分相对于x的导数 所以左手边是这个 右手边是个0 那现在我们可以尝试 求解y相对于x的导数了 第一步或许应该是 从等式两边减去 根号y 让我把这部分全部移过来 这样我有更多的空间 先剪切 然后粘贴 把它移到这里 从这里移到这里了 没有留很多空间 但希望这够用了 算了 我还是用之前的 如果我们在两边减去 根号y,我会尝试顺便 化简,我可以写成x乘 这等于x在分子,除以 2乘根号y,y的负1/2次方 就是根号y在分母 然后1/2就是把2写在分母 乘dy/dx乘y相对于 x的导数,等于 负根号y 我在两边减去了根号y 我应该把这个 复制粘贴到上面 复制粘贴 我们继续化简 求解dy/dx 我们只需 再两边除以2根号y 分之x 然后剩下的就是dy/dx 这等于在两边乘 它的倒数,等于2乘 根号y除以x 乘根号y 这化简后是什么? 这等于y乘 根号y乘根号y等于y 负2 结果是负2y除以x等于y 相对于x的导数 我们刚刚间接地 计算出了导数 看着跟这里很不一样 这里我们用指数法则得到了负2x 的负3次方 这里的重点是意识到 我们可以 求解y 我们把这个代入 回来看答案是否一样 我们把y等于x平方分之一代入 你会得到,y相对于x 的导数,等于负2乘x平方分之一 然后全部除以x 这等于负2除以x的三次方,跟这里的答案一样 负2x的负3次方