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主要内容

反函数求导

如果f(g(x))=x=g(f(x)),则函数f和g都是反函数。 对于每对这样的函数,导数f'和g'具有特殊关系。了解这种关系,看看它如何适用于𝑒ˣ 和 ln(x)(它们是反函数!)。

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假设这两个函数 互为反函数 这是f(x) 然后g(x) 等于f(x)的反函数 然后f(x)也是g(x)的反函数 如果你觉得反函数的符号 很陌生的话 建议你到可汗学院复习一下反函数 那反函数的一个性质是 如果我要计算g(f(x)) 或者说f的反函数f(x) 那这就等于x 这是从反函数的 定义里来的 假如这是x 函数f将其映射到某个值 f(x) 然后这是f(x) 之后g,是f的反函数 如果你代入f(x),那这会 带你回到x 所以这是f的反函数 这里我们说g等于f的反函数 目前为止只是在复习反函数 现在我们要加上微积分了 通过链式法则 并且我们会得到一个比较有趣的结果 我想做的是在等式两边 同时求导 我们来求导 d/dx在左边 d/dx在右边 会得到什么? 在左手边我们会用链式法则 所以这是g相对于x 的导数 这是g'在f(x) 的值 g'在f(x)的值 乘f(x)相对于x 的导数 乘上f'(x) 这等于什么 x相对于x的导数 就等于1 这是有意思的地方 现在我们仅利用了 反函数的知识 然后用了链式法则 来计算左手边的导数 但是如果你在两边除以g'(f(x)) 会得到什么 你会得到一个函数导数和它的 反函数的导数 之间的关系 所以f'(x) 等于 这些东西分之1 g'(f(x)) 分之一 分之一 g'(f(x)) 假如你知道一个 函数的导数 你可以开始计算 它的反函数的导数 我们可以通过一些 经典函数看出这是对的 比如说f(x) 等于 e的x次方 所以g(x) 等于f的反函数 f的反函数 e的x次方的反函数是什么 其中一种想法是 假设y等于e的x次方 计算反函数的方法是把两个变量对调 然后再次求解y 所以是x等于e的y次方 然后两边对数 得到x的自然对数等于y 所以e的x次方的反函数是x的自然对数 再说一遍,这仅是反函数的复习 如果这看着不熟悉,请到可汗学院上复习 那g(x)等于 x的自然对数 那我们来看看这对于这两个函数是否正确 f'(x)是什么? 这是微积分里面一个有意思的结果 数字e的有趣之一就是 e的x次方的导数就是e的x次方 然后在其它视频里,我们还知道 x的自然对数的导数是x分之1 看看这是否正确 f'(x) 是e的x次方 等于 1除以 g'(f(x)) g'(f(x)) g'是1 除以f(x) 然后f(x)是e的x次方 1除以e的x次方 这是对的吗? 是的 1除以除以e的x次方 就是等于e的x次方 那这是对的 你也可以换个方向 因为这两个互为反函数 你可以说,g'(x)等于 f'(g(x))分之1 因为它们互为反函数 实际上,你可以通过 这个来大概知道 一个反函数的导数是什么样的