反函数求导：从方程式中

已知F(x)等于1/2倍的x3次方 加3x再减4。 函数H为函数F的反函数。 注意到F(-2)等于-14。 问：H'(-14)等于多少？ 假如你不熟悉函数及其导函数， 与其反函数 及反函数的导函数的关系， 这问题会显得相当困难。 因为假如你试图求函数F的反函数， 也就是函数H的表达式的话， 那就意味着要解一个 像这样的3次方程， 而这是非常困难的。 所以，这个问题的关键， 在于认识到这样一个性质， 或者说这样一个事实： 假如F与H互为反函数， 那么H'(x)， H'(x) 就等于 就等于1除以 F'(H(x))。 1 / F'(H(x)) 现在你可以利用它 来求H'(-14) 等于多少。 我想某些同学可能会有点疑问， 假如有人直接把这个结论甩给我， 我也会抱有相同的疑问： 这个结论从何而来？ 实际上，它可以直接从 链式法则推导出来。 我们知道，按照反函数的定义， 假如F与H互为反函数 那么F套上F的反函数， 即F(H(x))， F(H(x)) 也就等于x。 这直接来自 反函数的定义。 我们还可以反过来说H(F(x)) 也等于x。 记住， 函数H会将某个x映射到H(x)， 而F将会把H(x)映射回x。 这就是函数反函数的行为。 假如两函数互为反函数， 那么按照反函数的定义， 它们就会有这样的关系。 现在，假如我们对这个等式两侧 分别求导， 会得到什么？ 我们来推导一下。 让我们对等式两侧 分别求导。 在左边加上d/dx， 在右边也加上d/dx。 我想你已经能够预见到这会导向什么。 我们将会得到上面这个结论的一种变体。 对等式左侧应用链式法则。 将会得到F'(H(x))， F'(H(x)) 乘以H'(x)。 这直接就是链式法则。 而等式右边是x的导数， 也就是1。 最后，将等式两边同除以 F'(H(x))， 就得到了上面这个性质。 好了，障碍清除完毕， 现在让我们运用这个性质解决问题。 我们要求的是H'(14)， 啊，不对，应该是H'(-14)。 按照刚才的性质， 它也就等于 1除以F'(H(-14)) H(-14)。 要是条件有告诉我们H(-14)等于多少就好了。 可惜条件并没有直接告诉我们。 但我们要记得，F与H 互为反函数。 如果F(-2) = -14， 那么H的行为应该刚好与之相反： 把-14放入H， 将会得出-2。 所以H(-14) 也就等于 -2。 还是那句话，因为F与H互为反函数， 所以H(-14)就等于 -2。 你看，我只是调换了这两个数的位置。 这正是反函数的行为： 假如F会把 -2映射到-14， 那么H就将把-14 映射回-2。 好了，现在我们要求的变成了F'(-2)。 我们不妨先求出F'(x)的表达式。 F'(x)应该等于， 按照幂函数的求导法则， 3乘以1/2等于3/2， 再乘以x的3-1次方， 也就是x的平方。 再加上3x相对于x的导数， 也就是常数3。 这都只是幂函数求导法则的简单应用： x也就是x的一次幂， 1乘以3， 再乘以x的0次幂， 但x的0次幂也就是1， 所以最终得到3。 最后，剩下的常数项的导数为0。 这样我们就求出了F'(x)。 于是F'(-2) 也就等于3/2 乘以-2的平方，也就是4，正4。 再加上3。 这也就等于 2乘以3再加3， 也就是6+3 = 9。 于是此处的分母就等于9。 所以这整个式子最终等于1/9。 好了，这不是一个 你会每天遇到的问题， 它不是一个微积分课上的常规问题。 但它很有意思。