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反函数求导:从值表中

给定函数g、其反函数h、以及它的导数g'的值表,Sal在已知x值处求反函数h'的导数。

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假设函数G和函数H互为反函数。 让我们先复习一下 两个函数互为反函数意味着什么。 这意味着假如我有两个数集, 让我们把其中一个画在这里, 把另一个画在这里。 假设左边的数集是函数G的定义域。 那么从其中的一个数x出发, 函数G将会把它映射到另一个数集中的一个值, 我们称它为G(x)。 这是函数G的行为。 此时,假如H与G互为反函数, 那么函数H将把G(x)映射回x。 H会这样做。 H会把我们带回到最初的值。 这是函数H的行为。 于是针对此处的这个点, 我们既可以将它看作x, 也可以把它看作H(G(x))。 我们也可以把它看作H(G(x))。 上面这些推导是为了 让你熟悉这个结论: 若已知G和H互为反函数, 那就意味着H(G(x)) = x。 H(G(x)) H(G(x))就等于x。 你还可以换个方向。 你还可以… 噢,实际上你有很多种不同的选择, 你还可以把x写成G(H(x))。 也就是颠倒字母G和H的顺序, 因为这两个函数的命名本来就是任意的。 也就是说,G(H(x)) 也等于x。 G(H(x))也等于x。 好了,让我们看一下条件。 表中列出了G、H和G'的一些值, 要我们求H'(3)的值。 条件里根本就没有H', 那我们要怎么求H'(3)呢? 我们只知道G',H和G。 怎么求H'呢? 在这里我们会利用链式法则做一点推导。 这不是一类常见的问题, 但它很有趣。 让我们一起解决这个问题, 你以后或许会在微积分课上遇到它。 让我们从这两个等式中的任意一个出发。 让我们从这个式子出发。 让我在下面重写一次。 我们已经有G(H(x)) = x, 我们换个颜色写H(x)。 这是直接由反函数的定义得到的。 现在让我们对这个等式两边分别求导。 让我们对等式两边 分别针对x求导。 针对x求导。 对等式左边我们只要使用链式法则就可以了。 结果是:G'(H(x)), G'(H(x)) 乘以H'(x)。 这实际上就是链式法则。 然后这个式子应该等于, x对x求导等于什么? 应该就等于1。 现在有意思了。 我们要求的是H'(3)。 我们已知H(3)的值, 然后我们可以接着求出 G'(H(3))的值。 这样我们就能求出H'(3)了。 让我们把这个式子改写一下。 我们可以把它改写成:H'(x) 等于1除以G'(H(x))。 某些老师可能会建议你 记住这个等式。 虽然这可能有助于 你解决这类问题。 但老实说, 我学微积分已经是25年前的事了, 这个等式并不在我的长期记忆中, 但我的确记得它能够 从反函数的定义出发推导出来。 现在我们可以用这个式子 来求H'(3)。 H'(3)就等于 1除以G'(H(3)), 我想条件应该已经告诉我们了。 H(3),当x等于3时,H等于4。 所以此处的H(3) 也就等于4。 现在我们只要求出G'(4)就行了。 运气不错,条件有告诉我们 当x等于4时,G'等于1/2。 也就是说,G'(4)等于1/2。 于是H'(3)就等于1除以1/2。 1除以1/2, 也就相当于1乘以2。 所以这个式子最终等于2,搞定。