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反余弦函数求导
反余弦函数求导。 由 Sal Khan 创建
视频字幕
上个视频中, 我们证明了 x 的反正弦的导数 等于 1 除以根号下 1 减 x 平方。 在这里,我还是建议你 暂停视频,用同样的方法 来推导 x 的反余弦函数的导数。 我们的目标是…… x 的反余弦函数对 x 求导的结果。 x 的反余弦, 它等于什么呢? 我猜你已经有了进展, 我们来一起。 就像上一节课, 我写成 y 等于这一部分, y 等于 x 的反余弦, 它就等价于 x 等于 y 的余弦, 两边同时对 x 求导, 左边,只剩下 1, 求导之后是 1, 而在右边, 我们得到 cos y 对 y 求导, 这部分就等于 -sin y, 再乘以 y 对 x 求导, 也就是 dy/dx,然后我们得到…… 然后我们两边同时除以 -sin y, 得到 dy/dx 等于 -1 除以 sin y, 我们见过这种情况, 现在的结果是关于 y 的表达式, 我们需要 x 的表达式, 我们已知 cos x 等于 y, 我们来看看, 如何把分母表达式, 由 sin y 变成 cos y, 在上个视频中, 我们用了三角函数公式 cos y 平方加 sin y 平方等于 1, 因此 sin y 等于根号下 1 减 cos 平方 y, 所以它等于,-1 就是对刚才的三角函数公式进行变形, 这里是 1 减 cos, 可以写成 1 减 cos 平方 y, 但我这样写, 这样更清楚一些, 那么 cos y 等于什么? 当然,它等于 x, 所以这就等于 -1 除以
根号下 1 减—— 将 cos y 替换成 x, 我换种颜色, 将 cos y 替换成 x, 就是 1 减 x 1 减 x 平方,搞定。 x 的反余弦函数对 x 的导数等于 我找不到这个颜色了, 还是用玫红色吧,
它等于 -1 除以根号下 1 减 x 平方, 这个很整齐, 这个公式很整齐, 当然,对比前一个公式,
你才能看出整齐, 对比反正弦的导数。 我把它俩并列起来, 我们就能看到, 它们只是符号不同,
复制,粘贴。 复制,粘贴, 粘贴到下面, 我把它们并排放着, 我们看, 如果要计算反余弦对 x 的导数, 这里就有个负号, -1 除以根号下 1 减 x 平方, 如果是反正弦函数的导数, 表达式完全一样,只是变成了正号。