反正弦函数求导

在这个视频中， 我们来计算 y 关于 x 的导数， 其中 y 等于 x 的反正弦函数。 还是一样，我鼓励你暂停视频， 试着自己来推导。 给你两个提示： 首先，我们不知道反正弦函数的导数是什么， 但我们知道正弦函数的导数，对吧？ 然后，如果你能将式子变形， 并用一些隐微分方法， 也许你就能推导出 dy/dx 等于什么。 记住，这里的东西， 这里就是我们的目标。 实际就是这个式子关于 x 的导数。 我猜你已经有了一些进展， 我们一起来吧。 如果 y 等于 x 的反正弦， 那其实就是说，它就等价于 y 的正弦， y 的正弦等于 x， 现在的形式我们比较熟悉了， 然后我们使用隐微分方法， 同时在两边对于 x 求导， 等号左边对 x 求导， 同时右边也对 x 求导。 那么左边对 x 求导等于什么？ 我们要用链式法则， 它等于 y 的正弦对 y 的导数， 这部分就等于 cos y， 再乘以 y 对 x 的导数， 乘以 dy/dx。 然后是右边， x 对 x 的导数等于什么？ 显然，求导之后就等于 1。 然后我们可以求出 dy/dx， 两边同时除以 cos y， 我们就得到 y 对 x 的导数等于， 等于 cos y 分之 1。 这样还不算完成， 我们把导数用 y 表示了， 但我们需要的是把导数用 x 表示出来。 那怎么做呢？ 我们已经知道，x 等于 sin y， 我写出来， 我们已经知道 x 等于 sin y， 所以我们希望把 分母的部分 cos y 替换掉， 如果能用三角函数公式， 将它变为 sin y 的某些形式， 接下来就很容易了，因为 sin y 就等于 x， 那么怎么做呢？ 从三角函数的公式，我们知道 sin 平方 y 加 cos 平方 y 等于 1， 我们把 cos y 表示出来， 两边同时减 sin 平方 y， 我们知道 cos 平方 y 等于 1 减去 sin 平方 y， 那么 cos y，两边都取正根， cos y 等于根号下 1 减 sin 平方 y。 然后这部分就等于 1 除以，把 cos y 替换掉， 我们写成根号 1 减 sin 平方 y， 为什么这样写？ 因为 sin y 就是 x， 把它直接替换掉不影响等号成立， 我这样写，更清楚一些。 我写成 sin y 的平方， 我们知道，这个东西就是 x， 所以它等于—— 此处应有背景音乐， 1 除以根号下 1 减—— 现在不是 sin y 了， 我们知道 x 等于 sin y， 所以是 1 减 x 平方， 答案出炉。 x 的反正弦函数的导数， 等于 1 除以根号 1 减 x 平方， 我再写清楚些， 如果你对这个等式两边同时对 x 求导， 就得到 dy/dx 等于这一部分。 或者可以说，x 的反正弦对 x 的导数， 等于 1 除以根号 1 减 x 平方。 这个结论如果忘了， 你马上就能自己推导一遍， 实际上，这才是学到这个知识的最好办法。 但就算硬记下来也有好处， 尤其是现在，微积分的刚开始阶段， 你可能一遇到这种形式，就马上认出来： 它是反正弦函数的导数啊，我认识！