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复合指数函数微分

Sal求出xˣ 和 x^(xˣ)的导数。它们出奇的好玩!. Sal Khan 创建

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视频字幕

... 一点经典隐式分化问题 是问题 y 等于 x 到 x。 然后找出什么 y 的导数 是关于 x。 人们看着哦你知道,我不只是有 恒定指数在这里,所以我只是不能用电源 规则,你是怎么做到。 这里的窍门是真的只是采取的自然对数 这个等式的两边。 这是要到我们要去建立 后来在这段视频做。 所以如果你把这个等式的两边都自然对数 你得到自然的 y 的日志等于自然 x 到 x 的日志。 现在我们的权力规则,或我猜我们自然日志规则说 看看,如果我要带的东西向的自然对数 东西,这就相当于,我可以重写自然 作为正在等于 x 乘以 x 的日志 x 的自然对数。 所以让我再重写的一切。 如果我把这个等式的两边同时自然日志我 得到的自然日志中 y 等于 x 倍 x 的自然对数。 现在我们可以采取的双方的导数 这是关于 x。 所以衍生关于 x 的然后 关于 x 的导数。 现在我们要应用一点点的链规则。 所以链规则。 这对 x 的导数是什么? 我们内部表达式的导数是什么 关于 x? 这是一个小的隐式分化,所以它的 dy 关于时间的导数这整个 x 对此内部函数的事。 所以 x 的自然对数的导数是 1 / x。 所以衍生的 y 与自然对数 到 y 的尊重是 1/y。 所以时间为 1/y。 ... 导数的这个--这是只是在产品规则 和我就会随意切换颜色在这里 — — 是衍生品 第一次的期限,是 1 倍,第二个词,所以倍 x 的自然对数,再加上的第二任期、 导数 这是 1 / x 倍第一学期。 所以时间为 x。 所以我们把 dy/dx 倍 1/y 等于 x 的自然对数 再加上 — — 这只是原来是 1 — — x 除以 x,和 然后你将这双方都乘以 y。 你得到 dy/dx 等于 y 时代自然 x 的日志加 1。 如果您不喜欢此 y 坐在这里,你可以只 进行替换。 y 等于 x 到 x。 所以你可以说,关于 y 的导数 x 等于 x x x 的自然对数加 1 倍至。 这是一个有趣的问题,而这常常是种作为给定 一个技巧问题或有时甚至奖金问题如果人 不知道采取的双方的自然对数。 但给了我一个更难的问题,和 这是我们要解决在此。 很高兴看到第一次做的因为这个问题,但它 给了我们的基本工具。 所以我们要去的更困难的问题 处理是这一个。 让我把它写下来。 所以问题是 y 等于 x 的 — — 和在这里是 麻花 — — 到 x x x。 我们想要找出 dy/dx。 我们想要找出 y 的导数 关于 x。 所以要解决这个问题我们基本上是使用相同的工具。 我们使用天然日志基本上是细分到这 指数和获取它入的术语我们可以处理。 所以我们可以使用的产品规则。 所以让我们这个等式的两边同时自然对数 像我们做最后一次。 你得到自然的 y 的日志等于自然对数 到 x x x。 ... 而这只是这个指数。 所以我们可以改写这作为时代的天然的日志 x 次 x 的自然对数。 所以,现在我们表达我们的等式简化为 自然对数 y 等于 x 到 x 倍 x 的自然对数。 但我们仍有这恶心到 x x 在这里。 我们知道不容易,求导数存在,虽然我已经 实际上就是显示你什么导数的这是如此 我们现在实际上就是可以应用它。 我本来想再把自然的日志,它会把 到这大、 混乱、 令人困惑的事情,但意识到 较早前在本视频中我只是解决的什么 到 x x 的导数是。 这是这件事就在这里。 它是这疯狂的表达式就在这里。 所以我们只是要记住,然后再应用和 然后做我们的问题。 所以让我们做我们的问题。 如果我们没时间提前解决这,就是有点 一个意外的好处做的简单版本的 问题,你可以拿着这一点,自然对数 但它就会觉得有点乱。 但既然我们已经知道什么对 x 的导数 x 是的应用它。 所以我们要把两者的衍生物 方程的两边。 这导数等于导数的这。 我们现在就会忽略这个。 这关于 x 的导数是导数的 关于 y y 的自然对数。 所以这就是 1/y 次 y 的导数 关于 x。 这是只是链规则。 我们了解到,在隐式分化。 所以这是等于第一个期限的衍生物 第二次一词,然后我就把它写出来只是 因为我不想跳过步骤和迷惑人。 这就是关于 x 的导数等于 到 x x 倍 x 的自然对数,再加上衍生品 关于 x 的自然对数 x 倍到 x x。 所以让我们侧重于此方程的右手边。 关于 x x 的导数是什么? 好,我们只被解决这一问题就在这里。 它的 x x x 的自然对数,另加 1。 于是这片就在那里 — — 已经忘了什么它 是--它是 x x x 的自然对数,另加 1。 这就是 x x x 的自然对数加 1 倍至。 然后我们要去乘那时间和 x 的自然对数。 然后我们会将添加到,再加上衍生品 x 的自然对数。 那是相当简单,这就是 1 / x 倍到 x x。 和当然在左手边的方程 是只是 1/y dy/dx。 我们可以将这件事情双方都乘以 y,和我们得到 dy/dx 等于倍的疯狂的事 — — 所有 y 到 x x 倍 x 的自然对数,再加上 1 倍的自然对数 x 加 1 / x 倍到 x x。 这就是 x 到负 1。 我们可以改写这作为 x 到减 1,然后 您添加的指数。 你可以写入这作为 x x 减 1 的电源。 如果我们不喜欢这 y 在这里,我们就可以 回代替它。 y 是等于这个疯狂的事情那边。 所以我们最后回答这看上去 — — 好在一个级别上 看起来像一个非常简单的问题,但在另一个级别 当你欣赏它的意思,它就像哦有 非常复杂的问题 — — 你得到与 y 的导数 尊重到 x 等于 y,这是。 这样的时间为所有这东西--x 倍 x x x 的自然对数,另加 1 倍,天然的日志 x,然后所有那加上 x 至 x 减 1。 那么谁会想到。 有时数学是优雅的。 你把这样的事情的导数和 你得到的东西整齐。 例如,当你带天然的衍生物 x 你的日志得到 1 / x。 这是非常简单和优雅,和它是很好,数学 出来的这种方式。 但有时你做的东西,你就采取操作 看起来非常简单和优雅的东西,然后你就 长毛的东西和不那么愉快的看看 在但是是一个很有趣的问题。 你去那里。