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主要内容

例题:复合指数函数微分

Sal求出复合指数函数[ln(x)]ˣ的微分,然后在x=e处求导数的值。复合指数函数是变量同时包含在基数和指数中的函数。

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视频字幕

有这么一个函数y 它等于lnx的x次幂。 我们想要做什么呢? 我们想要求出y相对于x的导数。 请暂停本视频, 看看你能否解决这个问题。 这个问题一开始 似乎看起来很难。 我们知道常数的x次幂的导数是什么, 但是如何求解 函数的幂的导数,比如本题, 自然对数的x次幂的导数呢? 答案是用对数的某些特性, 再加上应用隐函数微分法。 首先, 我把方程重写在这里,留足空间, lnx的x次幂。 首先,我想把幂x去掉, 这样的话, 我就可以用到微分的乘积法则。 所以,我们要做的就是 对方程的两边取自然对数。 方程的两边取自然对数, 你可能会问,这样有什么帮助呢? 当我对某个含幂项 取自然对数时,会得到, 让我把这个幂的特性写在这里, 你也许记得或 或者已经忘了, 如果,我可以写成log, 或者写成自然对数ln, lna的b次幂, 等于b乘以lna。 这是对数的一条基本特性。 那么,对两边取自然对数, 这个幂就成为了 自然对数函数的乘积项。 所以,我们把这个幂拿到前面, 让我们把方程重写一遍。 所以,我们 有ln(y) 等于,这儿我用一个括号, ln(y) 等于,这儿这个蓝色的x, x乘以自然对数, x乘以ln(ln(x))。 ln(ln(x))。 好了,我们得到了这样一个新的等式。 通过对等式的两边取自然对数 并运用对数的性质, 我们得到这个新等式。 现在你可能会问, 好吧,这到底有什么用呢? 是这样的,现在我们 可以两边对x求导。 让我把这部分 往右边挪一下, 这样我能放下求导符。 我把它挪过去 现在方程两边 对x求导。 首先等式的左边 对x求导 然后是右边, 右边对x求导。 在等式的左边 我们应用链式法则。 说到隐函数微分法, 我们实际上用到了链式法则。 首先是外层函数 相对于内层函数求导, 即ln(y)相对于y求导, 对应的求导结果就是1除以y, 然后是 内层函数相对于x求导。 即dy/dx。 然后看等号的右边, 这个比较有意思。 让我先在旁边推导一下。 我们来看看,首先我们 应用乘积法则。 那么第一项的导数, 即1乘以第二项, 第二项是一个函数, 即ln(ln(x))。 然后,加上第一项函数,即x, 乘以第二项函数的导数。 乘以第二项函数的导数。 函数ln(ln(x)) 的导数是什么呢? 让我把它单独写到这里。 如果我要 得到ln(ln(x))相对于x的导数, ln(ln(x))的导数, 同样,需要应用链式法则。 洋红色函数相对于内层函数 的导数, 等于1除以ln(x), 然后乘以 内层函数对x的导数,即1/x。 那么结果是1除以xln(x)。 所以第二项函数的导数 就是1除以xln(x), 1除以xln(x)。 这里这个x和这个x相互抵消, 那么我们剩下1除以y, 我用蓝色来写, 等式是1除以y再乘以 y对x求导,等于 这里的ln(ln(x)), ln(ln(x)), 加上1除以xln(x), 1除以xln(x)。 现在,要得到这个导数, 我们可以在等式的两边同乘以y。 即左边乘以y, 然后右边乘以y, 结果是什么呢? 左边乘以y以后, 我们得到了dy/dx, 即y对x的导数, 就等于,而y函数的表达式在这里。 y等于, 让我把它重新写在这里。 y等于ln(x)的x次幂。 所以,实际上我们是两边 同时乘以了ln(x)的x次幂。 这样看起来有点杂乱。 不过我还是可以写成这样, 不用每项相乘, 那我就还是让它这样吧。 好了,写了这么一大堆, 最终结果来了, ln(ln(x)) 加上1/ln(x), 再乘以ln(x)的x次幂。 表达式比较复杂。 有人可能会问, 当x=e时,y的导数是多少? 当x=e时, 这个导数是多少? 我们可以把x=e带入这个等式来求解。 让我把它加入本题的要求, 这样需要求解的不仅仅是 dy/dx的表达式, 还要求出当x=e时,导数的值。 问题变成了这样, 现在我们来求解。 我们把x=e代入这个等式, 这儿是e,这儿是e,这儿是e 这儿也是e, 我选择x=e,因为比较好算。 我们知道lne等于1 ln1,即e的0次幂的自然对数, 等于0。 这儿lne等于1, 所以括号里的表达式是 0加上1/1, 就等于1, 然后这里lne是1, 那么这里就是1的e次幂, 1的任何次幂 都等于1。 所以我们有1乘以1,等于1。 所以你看,很好玩, 当x取某个值时, 得到的结果非常简单。