主要内容

微分学

课程: 微分学 > 单元 3

课程 2: 更多关于链式法则的练习

证明链式法则

证明导数的链式法则

链式法则告诉我们如何对复合函数进行求导：

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

AP微积分课程不要求我们证明这一事实，但我们相信只要可以证明，我们就可以从中学习。一般来说，能够用某种证明去证实学到的定理是对的，总是好的。

首先，我们会先证明两个小的声明，在之后的链式法则的的证明里将会使用到的。

(在证明中使用的声明通常被称为引理。)

1. 如果一个函数是可导的，那么它也是连续的。

可汗学院视频播放器

Differentiability implies continuity查看视频字幕

2. 如果函数u在x点是连续的，那么当delta, x, \to, 0的时候，delta, u, \to, 0。

可汗学院视频播放器

If function u is continuous at x, then Δu→0 As Δx→0 查看视频字幕

现在我们已经做好准备去证明链式法则了！

可汗学院视频播放器

Chain rule proof查看视频字幕

福利：我们可以用链式法则和乘积法则来证明除法法则。

除法法则告诉我们如何对商进行求导：

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}

可汗学院视频播放器

Quotient rule from product & chain rules查看视频字幕

想加入讨论吗？

排序方式:

尚无帖子。

你会英语吗？单击此处查看更多可汗学院英文版的讨论.

微分学

课程: 微分学 > 单元 3

首先，我们会先证明两个小的声明，在之后的链式法则的的证明里将会使用到的。

1. 如果一个函数是可导的，那么它也是连续的。

2. 如果函数uuuu在xxxx点是连续的，那么当Δx→0\Delta x\to 0Δx→0delta, x, \to, 0的时候，Δu→0\Delta u\to 0Δu→0delta, u, \to, 0。

现在我们已经做好准备去证明链式法则了！

福利：我们可以用链式法则和乘积法则来证明除法法则。

想加入讨论吗？

2. 如果函数u在x点是连续的，那么当delta, x, \to, 0的时候，delta, u, \to, 0。