指数函数微分

我们来看函数 y = 7^ (x^2 -x)。 那么y的导数， y相对于x的导数是多少？ 同样，请暂停本视频， 看看你是否能自己解决这个问题。 看看这些被不同颜色标记的部分， 你可能马上看出来了， 这是一个复合函数 或者说可以看作一个复合函数。 如果有一个函数v(x), 它等于7^x, 而另一个函数u(x), 它等于x^2 - x, 那么这里， y等于7的某个幂， 不是v(x), 而是v(u(x))。 函数u(x)等于x^2 - x 。 所以，这是v(u(x))，根据链式法则， 我们可以求出y对于x的导数。 这里你会看到不同的表示法， 有时写成v对于u求导， 即v’(u(x)) 乘以u对于x的导数， 这是一种方法， 或者你可以说这个等于 这个等于v对于x求导， 错了，应该是v相对于u的导数， dv/du乘以u对于x的导数， u对于x的导数， 我们可以在这里应用其中一种方法。 那么v对于u的导数是多少？ v’(u(x))是多少？ 我们知道，让我在这里写下来， 如果v(x) = 7^x, v'(x)就等于， 我们已经在别的视频中证明了， 对基底不是e的幂求导， 结果是ln(7)*7^x。 所以，对v'(u(x)), 注意不是这里的这些x, 我们应该会有u(x)。 所以这里， 我们有ln(7)乘以， 不是7^x, 切记我们是取v’(u(x)), 所以是7^(x^2 - x)， x^2 - x 然后我们乘以 u对x的导数。 而u’(x)等于 2x -1， 所以我们要乘以 2x - 1, 就这样， 这就是y对x的导数。 我们可以简化表达式， 或者写成不一样的表达式， 但是我们的主要目的是，看这里， 要对7的u(x)次幂 相对于u(x)求导。 我们把u(x)当作这里的x， 那么我们得到 ln(7)乘以7^(x^2 - x)， 然后乘以u’(x), 这就是链式法则的应用。