指数函数微分的介绍

本视频中， 我们要探索如何求幂函数的导数。 我们已经知道了 e^x对x的导数 等于e^x， 这点很神奇。 这是自然数e很特别的一点。 当一个幂函数 的基底是自然数时， 它的导数，即在任何一点的斜率， 等于函数在该点的值。 现在我们来看看其他基底的情况。 我们如何求解 a^x对x的导数呢？ 这里a可以是任何数。 怎么做呢？ 也许我们可以用到 e^x的导数等于e^x的特性。 我们可以用代数 和幂的特性把它 重写为e的幂函数形式吗？ 你可以这样， 你可以把a看作， 让我这样写。 好了，a等于e^(ln(a))。 如果你不是太明白， 那你好好想想。 ln(a)是什么？ ln(a)是这样一个幂，当它的基底是e时， 你可以得到a。 所以如果你把它放到e的幂上， 把它放到e的幂上， 会得到a。 那么你就会得到a。 好好想想这个吧。 不要只是不假思索地接受。 你应该吧它搞懂。 它正是来自对数的定义。 我们可以把这个式子代入这里的a。 因为a等于e^(ln(a)), 那么这个等于， 这个等于括号里的表达式 对x求导， 表达式是e的 我又错写成了la(笑), e^(ln(a))的 x次幂。 e^(ln(a))的x次幂。 然后，根据指数的性质， 式子就等于如下表达式 对x求导， 我还是用不同的颜色表示。 如果我先对某项取某个幂， 然后再取某个幂， 那么实际上就是对原基底 取这两个幂乘积的幂。 这是幂的基本特性。 所以就等于 e的(lna)次幂。 乘以x次幂。 现在我们可以用链式法则 来求解这个导数。 我们可以这么做 首先我们求导外层函数。 即e^((lna)x) 对内层函数求导， 即对(lna)x求导。 那么这个等于 e^((lna)x). 然后我们是内层函数 对x的求导。 而这里的ln(a), 可能不是那么明显， 它就是一个数。 所以，我们这里 乘以一个导数。 如果这里对3x的求导，结果就是3. 而如果是对(lna)x求导， 结果就是ln(a)。 所以我们得到 lna乘以 e^((lna)x)。 我把它写成这样。 (e^(lna))^x。 而我们已经知道了。 这一项等于a。 那么可以进一步简化。 简化为 (lna)乘以a^x。 很简洁的一个结果。 所以如果我们对e^x求导， 结果是e^x。 如果我们对a^x求导， 结果是(lna)a^x。 现在我们可以用这个结果 来对基底不是e的同类表达式求导。 所以如果我想 得到函数8*3^x相对于x的导数， 结果是什么呢？ 结果是8乘以 这里这一项的导数 基于我们前面的推导， 结果是基底的自然对数， 即ln3乘以3^x。 乘以3^x 所以结果是 (8ln3)乘以3^x。 乘以3^x。