对数函数的微分

已知函数y等于 log_4(x^2+x)。 y对x求导的结果是多少？ 你可能已经意识到了 这是一个复合函数。 这里不是log_4(x)， 而是对x的 一个表达式取log_4。 这样 我们可以将蓝色的这部分 当作u(x)。 我用蓝色来标记。 蓝色的这些项 记作u(x)。 u(x)等于x^2 +x。 u’(x)的结果后面会用到。 u’(x)等于 这里借助幂法则， 我会得到2x+1。 我把2放到前面 再把幂减去1。 x对x求导等于1。 同时我们把 这部分取log_4 记为函数v。 而v(x) 如果v(x) 等于log_4(x)。 而在别的视频中我们推导出了 v’(x)的结果 非常像基底为e的自然对数的导数， 只不过需要乘一个系数。 即等于 1除以 1除以log_4。 错了，应该是 1除以ln(4)乘以x。 如果v(x)等于ln(x) 那么v’(x)就等于1/x。 但是这里基底是4， 所以根据基底变换公式 我们就得到这个结果。 我们有一个视频专门讲这个。 我们只需要在分母里面 乘以ln(4)。 或者整个表达式乘以 系数1/ln(4)。 我们可以用到这个公式 y可以记作 函数v 函数v 请记住，函数v是对某项取log_4。 但并非v(x)。 括号里不是仅仅一个x。 而是一个表达式， 它被定义为u(x)。 所以这里面是u(x)。 让我在这里画一条线把两边分开。 这样我们就不会把两边搞混了。 根据链式法则， 我们知道y对x求导， 等于 v对u的导数， 或者我们把它叫做v’。 即v’(u(x)) v’(u(x))。 u(x)用蓝色来标记。 v’(u(x)) 乘以u’(x)。 那么v’(u(x))等于什么呢？ 我们知道v’(x)的结果。 要得到v’(u(x))的结果 我们只需要把v’(x)结果中的 所有x替换为u(x)。 所以，这里等于 v’(u(x)) 它等于绿色的函数 对蓝色的函数求导。 其结果为1除以 ln(4) ln(4) 乘以u(x)，而非乘以x。 乘以u(x)。 当然，还要再乘以 u’(x)。 下面，我会多写几个步骤， 这样推导更清晰。 所以得到 1/ln4 而u(x)等于x^2+x。 所以 这里是x^2+x。 然后再乘以 u’(x)。 即乘以2x+1 我们可以把结果重写为 2x+1除以 除以 除以 ln(4). ln(4)乘以 x^2+x。 乘以 x^2+x。 解题完毕，当然我们可以用ln4 同时乘以这两项。 如果我们想这么做的话。 但是我们这里已经求出了 y对x的导数。