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主要内容

对数函数微分的介绍

Sal可以使用ln(x)的导数和对数基变换规则得出logₐx 的导数(对于任何正基数a≠1),然后求微分log₇x 和 -3log_π(x)。

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视频字幕

从先前的视频中,我们知道 ln(x)相对于x的导数 等于1/x。 在本视频中,我们会应用在别的视频中 教授的这个知识 来求解任意基底的对数函数相对于x的导数。 比如说log_a(x)。 该如何着手呢? 关键的一点, 你要根据代数或微积分预科课程的知识 熟练掌握如何变换基底。 譬如,我写在这里, log_a(b),我想要变换到 一个不同的基底, 例如变换到基底c,这个就等于 log_c(b)/log_c(a)。 log_c(b)除以log_c(a) 这个公式很有用, 如果你以前没见过,现在你知道了。 我们在可汗学院的 其他视频里已经证明了它。 它真的很有用,例如, 你的计算器上有一个log键, 它基底是10。 如果你在计算器上先按100, 再按log键,你会得到2。 所以不管什么时候你看到log(100), 它的默认基底是10,计算器上也有 自然对数键,基底是e。 ln(x)就等于log_e(x)。 但有时,你想求各种基底的对数, 你就可以借助这个公式。 例如你想用计算器来求解 log_3(8),你可以, 你可以在计算器上输入log(8)以及log(3)。 让我写成这样, 两个的基底都默认是10, 你也可以写为ln(8)/ln(3), 得到的结果是一样的。 你的计算器上也有自然对数。 本视频中我们使用自然对数, 因为我们已经知道了 自然对数的导数是什么。 所以这里这个导数等于 这个函数对x求导。 因为log_a(x)可以重写为 ln(x)/ln(a)。 而ln(a)是一个数字。 我可以重写为,让我写成这样。 1/lna乘以ln(x)。 这个表达式的导数是多少呢? 我们可以把常数提到外面。 1/ln(a)只是一个数字。 所以我们得到1/ln(a) 乘以 ln(x)对x求导。 ln(x)对x的导数我们已经知道等于1/x。 所以这一项等于1/x。 最后结果就是1/ln(a)乘以1/x 也可以写成1/((lna)x)。 这是一个非常有用的公式。 现在我们对各种基底求导。 如果f(x) = log_7(x), 那么f’(x) 就等于 1/((ln7)x)。 如果对数前面有常系数,比如说, 有一个函数g(x)。 g(x)等于 -3乘以,例如, log_ℼ 这里ℼ是一个数 即g(x) = log_ℼ(x),那么g’(x)就等于 1除以,噢, 差点忘了,这里还有一个常数。 结果是-3除以,-3来自这里, 除以log_ℼ。 即这个基底的自然对数。 乘以x。 好了,对这类问题你应该知道怎么做了。