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根式函数的微分

Sal对 ∜(x³+4x²+7)求微分,然后在 x=-3时求导数的值。

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视频字幕

我们来看,如何计算 4 次根号下 x 立方加 4x 平方加 7 对 x 的导数。 你的第一反应可能是: “好吧,我怎么对 4 次根号求导呢, 看来这是一个复合函数, 看作是另一个函数开四次方。” 没错, 这就是复合函数, 链式法则是最好用的工具。 我们先把它变得更容易处理一些。 4 次方根其实就是分数指数, 所以它就等于 对 x 求导,里面是 x 立方加 4x 平方加 7 它的 1/4 次方。 1/4 次方。 这个导数怎么计算呢? 我们可以把它看作——我前面也说了, 可以看作是复合函数, x 要先干什么? 要先计算这部分, 我们可以记为 u(x), 然后 u(x) 不管等于什么 都进行 1/4 次方运算。 所以我们这样来求导, 我们先对这部分求导, 你可以看作是外层函数, 对 u(x) 求导, 然后再乘以 u 对 x 的导数。 我们开始, 它等于—— 等于 我们先处理外层函数, 也就是用绿色标出的部分, 它的 1/4 次方, 我要计算它对于内层函数, 也就是 u(x) 的导数, 这里用幂函数法则。 我把 1/4 拿到前面来, 就等于 1/4 乘以 不管里面是什么,都是对它求导, 它的幂是 1/4 - 1。 我用的是幂函数求导法则, 这里面没有 x。 我是求整体对于 u(x) 的导数, 对于这个多项式的导数。 我可以直接写 u(x), 但还是写全, 这就是 x 立方加 4x 平方加 7。 然后它再乘以, 我们用链式法则, 先用外层函数对内层函数求导, 然后要再乘以 内层函数的导数。 那么 u(x) 的导数是什么? u'(x),我们看,要用好几次幂函数求导法则, 它等于 3x 平方, 加 2 乘以 4,也就是 8x, x 的 2-1 次方,也就是 1 次方, 我直接写成 8x, 然后是 7 对 x 的导数, 常数对 x 的导数就等于 0。 这就是 u'(x), 所以我们后面乘以 u'(x), 也就是 3x 平方加, 3x 平方加 8x。 然后,我还可以进一步化简, 所以它就等于, 它就等于, 我先把这个指数重新写一下, 这是 1/4 减 1, 1/4 减 1 等于 -3/4, 负的 3/4, -3/4 次方。 你可以用各种办法来处理这个式子, 但关键是要清楚, 我们是使用链式法则得到它的。 外层函数的导数,实际上, 首先是要明白开 4 次方 就等价于 1/4 次方, 指数的基本性质, 然后,意识到这是一个复合函数。 所以我将外层函数对内层函数求导, 就是这里, 乘以内层函数对 x 的导数。 如果有人问你, 如果有人说:“好,有个 f(x) ”f(x) 等于 4 次根号下 “x 立方加 4x 平方加 7,” 然后说,”那么,f 一撇 “比如,f'(-3) 等于多少?” 你就可以把 -3 代进这个式子。 我们来试试, 这是 1/4 乘以, 这是 -27, 我希望数字好算一些, 加 36,加上 36, 再加 7,之后的 -3/4 次方, 它等于什么? 它等于, 这里是 16,对吧? -27 加 7 是 -20, 加 36,所以是 16。 我想这应该很好算。 然后乘以 3 乘以负的,3 乘以 9, 也就是 27,减 24。 所以它等于, 这部分等于 3。 16 的 -3/4 次方等于多少? 所以他是 1/4 乘以, 16 的 1/4 次方等于 2, 然后再计算, 这样吧,我不跳步骤, 现在我们用的是代数知识, 也许还不算代数。 那么它就等于乘以, 乘以 16 的 1/4 次方, 然后再 -3 次方, 再乘以 3,放到前面。 把 3 放在这里。 16 的 1/4 次方等于 2, 2 的 3 次方等于 8, 所以 2 的 -3 次方等于 1/8, 这是 1/8。 它等于 3/4 乘以 1/8, 等于 3 除以 32,3/32。 所以这就是 y 等于 f(x) 的函数图像 在 x 等于 -3 处的切线斜率。