三角函数的微分

我们说 y 等于 sec(3π/2 - x)。 我们要计算 dy/dx， 也就是 y 对于 x 的导数 在 x 等于 π/4 的取值。 老规矩，暂停视频，试试自己能不能做出来。 好的，可以看到，这是一个复合函数。 正割函数里面不是简单的 x， 但你可以把里面的表达式 看作另一个关于 x 的函数。 比如，可以把这个式子记作 u(x)， 我们这么记， 所以，我们说 u(x) 等于 3π/2 减 x， 我们可以计算 u'(x) 就等于， 3π/2 的导数就等于 0， -x 的导数， 它就等于 -1， 可以看作是幂函数求导， 1 乘以 -1，乘以 x 的 0 次方， 也就是 1。 我们继续。 我们可以把它看作 sec 对于 u(x) 的导数， 求导时，它就等于 sec(u(x)) 对 u(x） 的导数， 乘以 u(x) 对 x 的导数。 你会问， “正割函数怎么求导？” 在其他视频中，我们有过证明， 你可以自己推导一遍。 sec(x) 就等于 1/cos(x)， 用链式法则很好推导。 在另外的视频中，我们证明了， sec(x） 的导数， 它的导数，等于 sin(x) 除以 cos(x) 的平方。 如果我们要计算 y 对 x 的导数， 它就等于 sec 对 u(x) 的导数， 乘以 u 对 x 的导数。 我们开始， 正割对 u(x) 的导数， 在这些地方的不是 x， 而是 u(x）。 它就等于 sin(u(x)), 我不用把 u(x) 的式子写出来， 不用写 3π/2 - x， 我写的是 u(x)， 这样更清楚一些。 sin(u(x))， 除以， cos(u(x)) 的平方， cos 的平方， 我把括号也换成蓝色， 这样你就能清晰分辨三角函数了。 所以是 cos 平方 u(x)， 这就是 u(x) 的正割函数的导数， 根据链式法则， 再乘以 u 一撇，u'(x)， 它等于什么呢？ 然后我再代回去， 它就等于，我这样写， sin 里面是 u(x)，也就是 3π/2 - x， 稍等我再填进去， 除以，cos(u(x)) 平方， 乘以 u'(x)， u(x) 就是 3π/2 - x， 3π/2 - x。 而 u'(x)，我们已经算出来了， 它等于 -1，所以直接这么写， 乘以 -1。 我先这么放着， 我可以直接在前面加个负号， 但这么写会让你更清楚计算过程。 然后我们要计算 x 等于 π/4 的值。 所以它等于 π/4， π/4。 我们看，它就等于 它就等于 sin 3π/2 减 π/4 等于多少？ 我算一下， 先通分， 变成 6π/4， 它就等于 3π/2， 再减去 π/4， 减去 π/4，等于 5π/4。 等于 5π/4。 所以它是 sin 5π/4， 5π/4， 除以 cos 平方 5π/4， 然后乘以 -1，可以直接放在前面。 那么，sin(5π/4) 和 cos(5π/4) 等于什么呢？ 我没有背下来，但是 我们来画一个单位圆， 我们就能， 我们就能计算出来。 画一个单位圆， 我要徒手画，展现我的绘画天赋。 请原谅我，画的确实不太圆， 不太像圆，好吧 没关系。 我回忆一下知道的角度， 在我脑海里，我一般是用角度为单位。 π/4 是 45 度， 这里是 π/2，这里是 3π/4， 这里是 4π/4， 这里是 5π/4， 找到你了，就在这里。 如果你要的是与单位圆的交点， 那么就是这个点， 就是这个点。 x 坐标等于负的 2 分之根号 2， 而 y 坐标也是负的 2 分之根号 2。 如果你不知道这个怎么来的， 那我建议你去复习单位圆 以及单位圆上的常见角度的视频。 可以去可汗学院的三角函数单元去找。 知道这些我们就足够了， 因为正弦就是 y 坐标值——这里就是 y 坐标， 负的 2 分之根号 2， 所以这是负的 2 分之根号 2。 然后，余弦就等于 x 坐标值， 也等于负的 2 分之根号 2， 然后平方。 负的 2 分之根号 2，然后平方。 我们把它平方， 它就等于， 它就等于正的 然后根号 2 平方就是 2， 然后 2 平方是 4， 等于 1/2。 约分一下，等于 1/2。 分子的负号与这个抵消了。 然后我们等于—— 激动人心的时刻又要来了， 等于 2 分之根号 2， 这是分子， 除以 1/2，也就是乘以 2， 然后等于正的根号 2， 它就是切线斜率， 是函数 y 等于这个， 在 x 等于 π/4 时的切线斜率。 特别棒。