应用变化率：健忘

我为了准备英语考试， 今天背了 80 个单词。 10 天之后，这些单词我就会全部忘记。 背单词之后 t 天，我还记得的单词数， 记为W(t)，它表示我脑子里还记得的单词数 关于时间 t 的函数，它等于 80 乘以 1 减 0.1t 的平方， t 取值从 0 到 10，包括边界。 所以这里是方括号。 请计算，背单词 2 天后，所记单词数的每日变化率是多少？ 我建议你暂停视频， 自己先试试。 这道题关键是在，我们有这个式子， 它表示从我们背下来这些单词之后， 背下来 80 个单词之后， 每天脑子里还剩下多少个单词。 就是这个式子。 现在我们想知道 2 天之后的变化率是多少。 变化率，显然就是要用它对时间求导， 我们来做， 我们来求导。 我还记得的单词数对时间的导数 就等于—— 前面有个 80， 它是常数， 而这里，我们就可以应用链式法则。 1 减 0.1t 整个的平方， 对 1 减 0.1t 的导数等于—— 我实际上是在对整个粉红区域求导， 整个表达式的平方对这个表达式求导。 它就等于 2 乘以 1 减 0.1t， 然后，我要再计算内层函数对 t 的导数。 内层函数对 t 的导数， 就等于 0 减 0.1， 也就是 -0.1。 当然，我们还可以再化简一下， 它就等于—— 80 乘以 2 是 160，再乘以 -0.1， 就等于 -16。 160 乘以 0.1 等于 16，所以是 -16 乘以 1 减 0.1t。 我们也可以把 16 分配进去， 就这么放着也可以。 而现在我们已经能回答这个问题了。 我们可以把它写成 记得的单词数相对于时间的变化率。 或者我们用另一种符号， 我们可以说这是 W'(t)， 两种表述是等价的。 我用相同颜色， 它等于 -16 乘以 1 减 0.1t， 那它等于什么？ 背单词之后两天时，单词数的每日变化率是多大？ 我们只需要把 2 代入这里就行了。 所以 W’(2) 就等于 -16 乘以 1 减 0.1 乘以 2，加上括号。 然后它就等于—— 我看看，这是多少？ 这是 1 减 0.2， 也就等于 0.8， 所以这就等于 -16 乘以—— 这里对不对？ 1 减 0.2 等于——没错，就等于 0.8。 然后等于多少? 如果是 16 乘以 8，就等于 128， 这就是 2 乘以 8 乘以 8， 2 乘以 64，128。 所以就等于 -12.8。 说的更明确一些， 单词量的变化率是 -12.8 个单词/天。 所以，如果你相信这个函数 表示某天我还记得的单词数， 这是说在第二天， 恰好在那一天， 在背单词之后恰好过了 2 天， 就在那个时刻，我实际上每天忘记 12.8 个单词。 我记得的单词数以每天 12.8 个单词的速度减少。