主要内容
微分学
分析涉及应用环境变化率的问题
微积分就是关于瞬时变化率的。 让我们看看它如何用于解决现实世界中的应用题。
对于函数 f 的导数 f, prime 的一种解释方式为：f, prime, left parenthesis, k, right parenthesis 是 f 在 x, equals, k 瞬时变化率 。让我们看看这种诠释是怎样解决应用题的。
假设一个水槽正在进水，t 秒后水槽中水的体积（以升计）用线性函数表达为 V, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, t。
函数的斜率 start fraction, 2, divided by, 3, end fraction 表示它的变化速率。换言之，水槽正在以每秒 start fraction, 2, divided by, 3, end fraction 升的速率进水。
线性函数的变化率永远为常数，这使它解释起来比较简单。
现在另一个水槽正在进水，这次水的体积函数 V, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, point, 1, t, squared 并不是线性的。
注意图像是怎样从初始增长平缓到最终急剧上升的。V, start subscript, 2, end subscript 的变化率不是常数。
如果想求 V, start subscript, 2, end subscript 的变化率，我们可以讨论在任意一点彼时的 瞬时变化率 。一个函数的瞬时变化率由函数的 导数 给出。
例如 V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1 。从数学角度讲，这表示图像 V, start subscript, 2, end subscript 在 x, equals, 5 的切线斜率为 1。 在灌水槽的这种情况下表示什么？
切线斜率表示曲线在某一时间点的斜率。由于我们已经看到斜率如何给我们带来变化的速率，我们可以这样解释 V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1 ：
在 t, equals, 5 秒时，水槽正在以每秒 1 升的速率进水。
注意这个解释里的一些细节。
首先，进水速率为 每秒几升。导数的单位始终是因变量（如升）对自变量（如秒）的比值。
其次，给出的速率是在特定时间点的（例如：t, equals, 5 秒）。这是因为它是 瞬时的 。取另一个时间点，速率可能会不同。看看一段时间 间隔，速率不是恒定的。
常见错误： 忘记带上单位，或者使用错误的单位
记住： 当我们在联系实际分析问题时，记住要使用单位。
例如，在问题2中，H 得到的输入值是以 周 为单位的，其给出的输出值是以 厘米 为单位的。它的导数 H, prime 也得到了以 周为单位的输入值，但是它的输出值是 厘米/周。
另一个常见错误：用短语表示 “在一段时间内” 而不是 “在某一个时间点”
导数都是指 瞬时 变化率。 因此，当我们根据一个函数的导数值来解释它的速率 时，我们应该始终提及具体的一点的速率。
解决有关瞬时变化率的问题
思考以下问题:
小卡已经服下了第一剂处方药。 t 小时后小卡血液中的含药量（单位为毫克）由以下函数表示：
在 1 小时后，血管中残余药量的瞬时变化率是多少？
当我们读到这个问题的时候，首先应该跳出脑海的是我们想求对某个量的 瞬时变化率。这意味着我们要用导数。
我们可以求的唯一函数导数是 M，但是让我们先确定这是我们想求的： M 表示随着时间推移，小卡血液中的药物残留量。我们要求的是这个量的瞬时变化率。所以正确，我们要 M, prime：
我们想求 在 1 个小时后 的瞬时变化率，这说明我们要求在 t, equals, 1 时 M, prime 的值：
最后，我们要记住使用单位。因为 M 得出的是在规定的 小时 时，以 毫克 为单位的数值。因此我们计算 M, prime 的单位是 毫克/小时。
最后，1 小时后药物残留量的瞬时变化率为 minus, 7, point, 2 毫克/小时 。
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常见错误：求出原函数而不是导数的值
记住： 当我们想求函数 f 的变化率时，我们会求导数 f, prime 的值。 求某一点 f 的值不会向我们提供有关该点上 f 变化速率的任何信息。