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主要内容

分析涉及应用环境变化率的问题

微积分就是关于瞬时变化率的。 让我们看看它如何用于解决现实世界中的应用题。
对于函数 f 的导数 f 的一种解释方式为:f(k)fx=k 瞬时变化率 。让我们看看这种诠释是怎样解决应用题的。
假设一个水槽正在进水,t 秒后水槽中水的体积(以升计)用线性函数表达为 V1(t)=23t
函数V1被绘制。 x轴以秒为单位标记为时间,从负1到10。y轴以升为单位标记体积。 该图是一条线。 该行从(0,0)开始,向上移动到(6,4)。
函数的斜率 23 表示它的变化速率。换言之,水槽正在以每秒 23 升的速率进水。
函数V_1的图形从 (0, 0)开始,向上移动经过点(3, 2)和点(6, 4),并在第1象限结束。代表+ 3秒的箭头从点(3, 2) 向右移动至(6, 2)。 代表+ 2升的箭头从(6, 2)向上移动到点 (6, 4)。
线性函数的变化率永远为常数,这使它解释起来比较简单。
现在另一个水槽正在进水,这次水的体积函数 V2(t)=0.1t2 并不是线性的。
函数V_2已绘制。 x轴以秒为单位标记为时间,从负1到10。y轴以升为单位标记体积。 该图是曲线。 曲线从(0, 0)开始,向上移动大约经过点(3, 0.9)和点(7, 4.9),并在第1象限结束。
注意图像是怎样从初始增长平缓到最终急剧上升的。V2 的变化率不是常数。
如果想求 V2 的变化率,我们可以讨论在任意一点彼时的 瞬时变化率 。一个函数的瞬时变化率由函数的 导数 给出。
V2(t)=0.2t
例如 V2(5)=1 。从数学角度讲,这表示图像 V2x=5 的切线斜率为 1。 在灌水槽的这种情况下表示什么?
函数V_2图形的切线从第4象限开始,向上移动,在(5,2.5)处接触到曲线,在第1象限结束。
切线斜率表示曲线在某一时间点的斜率。由于我们已经看到斜率如何给我们带来变化的速率,我们可以这样解释 V2(5)=1
t=5 秒时,水槽正在以每秒 1 升的速率进水。
注意这个解释里的一些细节。
首先,进水速率为 每秒几升。导数的单位始终是因变量(如升)对自变量(如秒)的比值。
其次,给出的速率是在特定时间点的(例如:t=5 秒)。这是因为它是 瞬时的 。取另一个时间点,速率可能会不同。看看一段时间 间隔,速率不是恒定的。
问题 1.A
在习题集1中, 我们将在如下的语境中分析问题:
小林正从学校走回家。在 t 分钟后,她距学校的距离(以米为单位)用可微函数 D 建模表示。
我们应该用什么单位来表示 D(t)?
选出正确答案:

问题2
H 表示在 t 周的种植时间内树的高度(以厘米为单位)。
四个学生被提问联系上下文解释 H(5)=3 的意义。
你能匹配老师的评语和学生的解释吗?
1

常见错误: 忘记带上单位,或者使用错误的单位

记住: 当我们在联系实际分析问题时,记住要使用单位。
例如,在问题2中,H 得到的输入值是以 为单位的,其给出的输出值是以 厘米 为单位的。它的导数 H 也得到了以 周为单位的输入值,但是它的输出值是 厘米/周

另一个常见错误:用短语表示 “在一段时间内” 而不是 “在某一个时间点”

导数都是指 瞬时 变化率。 因此,当我们根据一个函数的导数值来解释它的速率 时,我们应该始终提及具体的一点的速率。

解决有关瞬时变化率的问题

思考以下问题:
小卡已经服下了第一剂处方药。 t 小时后小卡血液中的含药量(单位为毫克)由以下函数表示:
M(t)=20e0.8t
1 小时后,血管中残余药量的瞬时变化率是多少?
当我们读到这个问题的时候,首先应该跳出脑海的是我们想求对某个量的 瞬时变化率。这意味着我们要用导数。
我们可以求的唯一函数导数是 M,但是让我们先确定这是我们想求的: M 表示随着时间推移,小卡血液中的药物残留量。我们要求的是这个量的瞬时变化率。所以正确,我们要 M
M(t)=16e0.8t
我们想求 1 个小时后 的瞬时变化率,这说明我们要求在 t=1M 的值:
M(1)=16e0.87.2
最后,我们要记住使用单位。因为 M 得出的是在规定的 小时 时,以 毫克 为单位的数值。因此我们计算 M 的单位是 毫克/小时
最后,1 小时后药物残留量的瞬时变化率为 7.2 毫克/小时
问题3
C(以美元为单位)为公司粉碎 w 磅重的机密文档的成本。
C(w)=0.001w30.15w2+7.5w
当文档的重量为 10 磅时,成本的瞬时变化率是多少?
选出正确答案:

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常见错误:求出原函数而不是导数的值

记住: 当我们想求函数 f 的变化率时,我们会求导数 f 的值。 求某一点 f 的值不会向我们提供有关该点上 f 变化速率的任何信息。

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