解读导数在实际问题中的意义

【讲师】题目告诉我们小E开车从纽约去费城 【讲师】题目告诉我们小E开车从纽约去费城 函数 D 给出了小E 路程的总距离(公里)和时间 t (小时) 函数 D 给出了小E 路程的总距离(公里)和时间 t (小时) 函数 D 给出了小E 路程的总距离(公里)和时间 t (小时) 对下列表达式最好的解释是什么？ D'(2) =100 暂停视频，自己试着写一下 你觉得该怎么描述呢 记得描述要写上正确的单位 咱们一起做做看 如果 D 代表路程 那么 D 的导数 d/dt 关于时间对 D 求导 一个思路是理解为 这是 D 的变化率 可以把 D' 看作瞬时的，瞬时速度 可以把 D' 看作瞬时的，瞬时速度 可以把 D' 看作瞬时的，瞬时速度 D 和 D' 都是关于时间 t 的 所以描述 D'(2) = 100 的一个方法是 这里时间是多少呢？ 对，这里是 t ，单位是小时 也就是 2小时，我用颜色区分一下 D'(2) = 100 代表小E 出发后 2小时 D'(2) = 100 代表小E 出发后 2小时 D'(2) = 100 代表小E 出发后 2小时 等我看看语法，没毛病 在路程中的一个瞬时速度 在路程中的一个瞬时速度 我再换个颜色 是100，单位是什么来着 这里，单位是公里 所以这里是每单位时间的公里数 所以这里是每单位时间的公里数 每小时，所以是100公里/小时 每小时，所以是100公里/小时 这就是对表达式的解释 咱们再做另一题 这题是说，一个水箱的水正在被抽干 函数 V 给出了水箱内液体的体积 单位是 升，t 分钟后 对下述表达最好的解释是什么 函数 V 的曲线切线，在 t=7 处的斜率为 -3 函数 V 的曲线切线，在 t=7 处的斜率为 -3 来，再次暂停视频 按照前一题的思路自己试一下 写出表达句的解释 记得单位要和题一致 好，咱们再一起做一次 V 是体积关于时间 t 的函数 体积单位是升，时间单位是分钟 这里说的是函数图形切线的斜率 这里说的是函数图形切线的斜率 那么图形 V(t) 的切线斜率 不就是 V ' 吗 对 V(t) 做关于时间的求导 d/dt V '(t) = 这都是说关于 t 的函数 V(t)、V '(t) 在 t = 7 时，V '(t) = -3 在 t = 7 时，V '(t) = -3 V '(t) 就表示切线的斜率 V '(t) 就表示切线的斜率 并且已知 t = 7分钟时 V '(7)，也就是体积关于时间的变化率 V '(7)，也就是体积关于时间的变化率 = -3 那就写下来 在7分钟后 在7分钟后 水箱在被抽干过程的一个瞬间 水箱在被抽干过程的一个瞬间 这就是为什么我们需要计算瞬时速率 这就是为什么我们需要计算瞬时速率 你可能想说 这是水被抽走的一个瞬时速度 -3升/分钟 但是要记得 -3 只是表示体积的减少 所以一个解法是这样的 负值已经被考虑过了 因为这里说的是水被抽掉（减少） 如果是正值，就代表加水进来（增加） 所以应该解释为，水以 3升/分钟 的瞬时速度被抽走 所以应该解释为，水以 3升/分钟 的瞬时速度被抽走 所以应该解释为，水以 3升/分钟 的瞬时速度被抽走 我是怎么知道单位是 升/分钟 的呢？ 体积单位是升 时间单位是分钟 做了关于时间的求导 所以就是我们写的 升/分钟