洛必达法则介绍

我们之前学微积分的时候 多半时间都在使用极限的概念 我们用极限来算出函数的导数。 事实上，导数的定义用了 极限的概念 当我们把曲线上的点和其中一个点越来越靠近的时候 所算出来的斜率就会等于导数 而想必你也看过了很多很多次了 在这个视频 我想我要从相反的方向来做 我们要用导数来计算极限 尤其是会变成未定式的极限 我说的未定式 是当我们取极限的时候 我们会算到 0/0 或者除以无穷大 或者负无穷大除以无穷大 又或者是负无穷大除以负无穷大 或者无穷大除以负无穷大 这些全部都是未定式，没有定义的形式 所以解决它的方法是用洛必达法则 在这个视频我将演示 什么是洛必达法则 如何套用这个法则 这十分直截了当 这也是一个十分有用的工具 有时候如果你参加一些数学比赛 题目可能会是一个难解的极限 当你直接把数字代入时 就会得到这样的结果 他们通常在考你洛必达法则 在未来的视频 我可能会证明洛必达法则 虽然它可能会比较复杂 应用方面其实相当简单 洛必达法则说明 如果我们—— 我会先以抽象的形式来做 当我再解一个例子的时候 一起都会很清楚 所以如果 x 趋近 c 时 f(x) 的极限等于 0 和当 x 趋近 c 时 g(x) 的极限等于 0 还有当 x 趋近 c 时 f'(x) 除以 g'(x) 的极限存在并等于 L 所以这些条件都必须符合 这是未定式 0/0 这是我们第一个案例 我们可以说当 x 趋近 c 时 f(x) 除以 g(x) 的极限也将是等于 L 这可能对你来说很异于寻常 但我先展示另一个案例 然后我再解一个例子 我们会解几个题目 这些题目会把这些说明清楚 这是第一个案例 所以我们先做有关这的例子 另一个案例是 当 x 趋近 c 时 f(x) 的极限将等于正或负无穷大 而 x 趋近 c 时g(x) 的极限将等于正或负无穷大 还有——我想你猜得到—— 它们的商存在 当 x 趋近 c 时 f'(x) 除以 g'(x) 将等于 L 所以我们能再做了相同的陈述 让我复制这个 编辑 复制 然后再贴上 所以在这两个情况 确保你了解你在看什么 这是当你尝试计算这个极限 你会得到 f(c)=0 的情况 或者当 x 趋近 c 时 f(x) 的极限 除以当 x 趋近 c 时 g(x) 的极限 结果将是 0/0 所以你说 嘿 我可不知道这极限是啥 但是瞧瞧 如果这个极限存在的话 我可以取这些函数的导数 再尝试计算极限 如果我算得一个号码 如果它存在的话 他们将会是同样的极限 这是另一个情况 如果我们取无穷大除以无穷大的极限 无论上下有没有负号 所以这是两个未定式 为了让这更清楚明白 我会解一个例题 因为我觉得这将清楚解释这一切 所以比方说我们要取—— 换个颜色好了 换成紫色—— 比方说我们要取当 x 趋近 0 时 sin x 除以 x 的极限 现在如果我们想要直接解题 直接把 0 代入 或者取这每一个函数当 x 趋近 0 时的极限 我们将得到 0/0 sin 0 等于 0 或者说当 x 趋近 0 时 sin x 的极限等于 0 当然显而易见的是当 x 趋近 0 时 x 当然会变成 0 所以这就是未定式 当你想想看 这是我们的 f(x) f(x) 等于 sin x 而我们的 g(x) 在第一个案例 是 x g(x) 等于 x 和 f(x) 等于 sin(x) 注意 我们已经确定 这符合前两个条件 当 x 趋近 c 时的极限，在这里 c 是 0 当 x 趋近 0 时 sin x 的极限是 0 而当 x 趋近 0 时 x 的极限也是 0 所以这是未定式 所以至少瞧瞧这极限是否真的存在 当我们取 f(x) 的导数 除以 g(x) 的导数 再取当 x 趋近 0 时的极限 在这里 这是我们的 c 让我们算算这极限是否存在 我用蓝色来写 让我写下来这两个函数的导数 f'(x) 如果 f(x) 是 sin (x) f'(x) 是什么？ 嗯，这等于 cos x 你已经学过很多很多次了 而如果 g(x) 是 x，那 g'(x)为何呢？ 十分简单 x 的导数是 1 所以让我们取当 x 趋近 0 时 f'(x) 除以 g'(x) 的极限——就是两个导数的商 所以这将是当 x 趋近 0 时 cos x 除以 1 的极限 这个 1 写得有点奇怪 这份直截了当 这将等于什么？ 嗯 当 x 趋近 0 时 cos x 将等于 1 很明显的 当 x 趋近 0 时 1 的导数也是 1 所以在这情况 我们看到了当 x 趋近 —— 我们的 c 是 0 —— 当 x 趋近 0 时 f'(x) 除以 g'(x) 的极限是 1 这极限存在并等于 1 所以我们符合全部三项条件 这就是我们解的例子 当 x 趋近 0 时 sin x 的极限等于 0 当 x 趋近 0 时 x 的极限等于 0 当 x 趋近 0 时 sin x 的导数除以 x 的导数 是 cos x 除以 1 我们得到 1 这符合上面的全部条件 所以我们知道这一定是这样 当 x 趋近 0 时 sin x 除以 x 的极限也一定等于 1 这也等于这个极限的值 我们取了 f(x) 和 g(x) 的导数 我将在接下来的几个视频做多一些例子 我想这将让你的概念更清楚