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洛必达法则:x趋近于0时的极限示例

Sal使用洛必达法则来求(2sin(x)-sin(2x))/(x-sin(x))在0处的极限。 Sal Khan 创建

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视频字幕

假设我们要算出当 x 趋近 0 时 2sin x - sin 2x 整项除以 x - sin x 的极限 现在 每当我看见一道极限的问题时 我总是会先尝试把 0 代入函数中 看看什么事情会发生? 可能不会发生什么疯狂的事 所以让我们试试看 当我们把 x = 0 代入时 发生什么事了? 我们得到 2 sin 0 而这等于0 减去 sin 2*0 嗯 这又是 sin 0 而又是等于 0 所以我们的分子等于 0 sin 0 那是 0 所以我们又得到了 sin 0 这又是等于 0 所以全部都是 0 而我们的分母 我们会得到 0 减去 sin 0 好吧 这又是等于 0 但我们就会得到一个未定式 我们在上个视频谈到的 0/0 的问题 所以我们在这或许可以用洛必达法则(L'Hopital's Rule) 使用洛必达法则的首要条件是 当 x 趋近 0 的时候 这个函数的导数除以 这个函数的导数必须存在 现在 让我们套用洛必达法则 算算这些的导数 看看能不能找到极限 如果可以的话 这就是这个的极限 所以这个东西 假设它存在的话 将会是等于 当 x 趋近于 0,这分子的导数 是什么 所以这分子的导数为何? 让我换个颜色 绿色好了 嗯 2 sin x 的导数是 2 cos x 然后 减掉。。。sin 2x 的导数 是 2 cos 2x 所以减去 2 cos 2x 只要用链式法则 这里面的导数 等于 2 所以外面有个 2 而在外面这个的导数是 cos 2x 还有在这外面的负号 所以这是分子的导数 那分母呢? 它的导数是什么? 嗯 x 的导数为 1 而sin x 的导数 等于 cos x 所以 1 减 cos x 现在让我们尝试计算这个极限 我们得到了什么? 如果我们把 0 代入上面这儿 我们会得到 2 乘于 cos 0 这等于 2——让我这样写写看 所以这是 2*cos 0 而 cos 0 等于 1 所以这等于 2 - 2 cos(2*0) 让我这样表示看看 其实让我这样做做看 如果我们直接计算分子和分母的极限 我们会得到什么? 我们得到 2 cos 0 而那等于 2 减去 2<i>cos(2</i>0) 里面这项还是等于 0 所以减去 2*cos 0 而这等于 2 这些除以 1 - cos 0 而 cos 0 等于 1 又一次 我们得到 0/0 难道这意味着极限不存在吗? 不 它仍可能存在 我们可能只是需要再次使用洛必达法则 让我算这的导数 然后在除以这个的导数 然后再算极限,那洛必达法则 或许能帮助我们计算出那个玩意 所以让我们看看它管不管用 如果我们在这套用洛必达法则 这答案必须等于极限 我们不是百分百确定 这必须等于当 x 趋近 0 时 这的导数除以那的导数的极限。 所以 2 cos x 的导数为何? 嗯 cos x 的导数为 -sin x 所以它是 -2 sin x 而 cos 2x 的导数等于 -2 sin 2x 所以这个负号和 -2 的负号抵消 然后 2*2 所以 它等于 4 sin 2x 让我检查一下我做得对不对 我们在这外有 -2 cos 2x 的导数将是 2*-sin x 所以 2*2 = 4 -sin x 乘于——这有个负号 所以这是个正号 你得到正的 sin 所以是等于 sin 2x 这就是分子的导数 而分母。。 这只是一道导数的习题罢了 所以分母的导数为何? 1 的导数为 0 而 -cos x 的导数为——嗯 这只是 sin x 所以让我们来看这一极限 所以这将等于——嗯 如果 把 x = 0 代入分母 我知道 sin 0 等于 0 所以让我们看看分子为何 -2 sin 0 这等于 0 然后 4<i>sin 2</i>0 嗯。。。仍然是 sin 0 所以还是等于 0 又一次我们又得到了未定式 这就完了吗? 我们得放弃吗? 洛必达法则不管用了? 统统不是 因为这可能是我们第一个极限问题 而如果这是我们第一个极限问题 瞧 我们可能就直接用洛必达法则 因为我们得到一个未定式 当 x 趋近 0 的时候 分子和分母都趋近 0 所以让我再算导数多一次 所以这等于——如果极限存在的话—— 当 x 趋近 0 时的极限 让我们算算分子的导数 -2 sin x 的导数为 - 2 cos x 然后,加上 4 sin 2x 的导数 嗯,它是 2*4 = 8 乘于 cos 2x sin 2x 的导数为 2 cos 2x 而这个 2 会乘于 4 等于 8 而分母的导数是什么呢? sin x 的导数为 cos x 所以让我们算算这个 看起来我们进展了不少 或者说我们能停止使用洛必达法则 因为我们将计算当 x 趋近 0 时 cos x 的值 这就是 1 所以我们绝对不会得到未定式了 上次算到 的 0/0 让我们看看分子为何 我们得到 -2 cos 0 嗯 这只是 -2 因为 cos 0 为 1 加上 8 cos 2x 假使 x 为 0 这将是 cos 0 等于 1 所以这等于 8 所以 -2 + 8 嗯这个东西 -2 + 8 = 6 6 除以 1 这整个东西等于 6 所以洛必达法则 它适用在这最后一步 所以如果我们是需要作答这个问题 当我们尝试计算极限 这分子趋近 0 这分母也趋近 0 当我们把分子的导数除以分母的导数 答案是存在的 而这等于 6 所以这极限一定等于 6 所以如果这极限等于 6 同理可证 这个极限也将等于 6 同理可证这个极限 也将等于 6 这题解出来了