洛必达规则：挑战性问题

我们想求出随着x接近1时，表达式x/x-1 乘上1/ln x的极限值 所以让我们看下当我们仅是输入1时 会发生什么 好，接着我们在此处得到1，1-1 所以我们会得到1/0减去 1除以，1的自然对数是多少呢 e的几次方等于1呢 任何数的零次幂都为1，所以e的零次幂也为1 所以1的自然对数值为 0 所以我们得到了奇怪且无解的1/0-1/0 这是一种奇怪的无解形式 但这并不是我们在l'Hopital's rule 中看到的无解形式 我们不会求出0/0，也不会求出∞/∞ 所以你也许会说，好吧，这不是一个l'Hopital 法则的问题 我们须以另一种方式将此题解出 不要放弃呀 也许我们可以以某种代数的方式改写这个式子 以使其变化为l'Hopital 的不确定形式 接着我们就可将之直接运用了 为了将之解决，让我们看看如果将这两式相加 又会如何呢 所以如果我将这两式相加 分母将为（x-1）*ln x 我仅是将这两式相乘 接着分子将为 好的，如果我将这整个式子同时乘上ln x 所以分子将为x*ln x 这个式子我将其整体乘以（x-1） 那么即为-（x-1） 你可以将之拆分（验证），并发现其与原式一致 那么在这边，x/x-1,由于ln x消掉了 让我们将其搁一边 那么这边就是-1/ln x由于（x-1）被消掉了 希望你理解了关于我处理这两表达式的用意 所以借此入手，我们看下取x为1时 此式会如何变化呢 因为这些式子是相同的 所以我们得到什么了吗 我们得到了1*ln 1 由于ln 1的值为0所以我们就得到了0 减去0，所以原式值为0 所以我们有了0作为分子 并且在分母中，我们求出了1-1，值为零乘上 ln 1， 其值也为0，故分母值也为0 我们得到了应用l'Hopital法则所需的不定形式 假设我们求出了它的导数 求出极限所在的导数 让我们试着做一下 这将等于 x到1的极限 让我们用品红色将其导数写出 我将取这个分子的导数 所以对第一项，让我们做乘积法则 x的导数是1，接着乘上x的自然对数 第一项的导数乘 第二项 接着我们要加上第二项的导数 加上1/x，乘上第一项 这就是乘积法则 所以1/x乘上x，让我们看下，就是1 接着我们求-（x-1）的导数 x-1的导数就是1 所以我们得到-1 接着分子除以分母的的导数 所以我们来求导 第一项为x-1，则其导数为1 乘上第二项的x的自然对数 x的自然对数的导数 是1/x乘上x-1 我想我们可以将其简化一下 1/x乘x得1 我们将从中减去1 所以这些都消掉了，就在这 所以整个表达式可写为，随着x趋于1 分子是x的自然对数 用红笔写出来了，分母则是 x的自然对数加上（x-1）/x 所以让我们求出此极限的值 当x的值为1时 1的自然对数为0 在这，我们得到了1的自然对数为0 紧接着是1-1/1 又是一个0 1-1为0 所以你将有0+0 你有得到了0/0 所以让我们再度应用l'Hopital法则 让我们求它的导数 除以它的导数 所以如果我们想取极值， 等于，当x到达1时，分子的导数 1/x，是的，x的自然对数的导数的值为 1/x除以分母的导数 那将是多少呢 x的自然对数的导数为1/x加上 （x-1）/x的导数 你可以这样想，1/x乘x 好吧，x到负1的导数，我们将取 第一个数的一乘以第二个数的导数，以及 然后是第二个导数乘上 第一个数 因此，第一项的导数，x 到负 1，是 负x的-2次方乘上第二项， x-1，加上第二项的导数， 就是1乘上第一项，1/x 所以这将等于 我讲到哪了？ 哦我们正在化简原式呢 让我们用上l'Hopital法则 所以这将等于 如果我们使x的值为1 整个分子值为1/1，就是1了 所以我们绝对不会得到一个无穷大或0/0 分母的值将为 如果你取x的值为1，那么就是1/1， 加上-1到-2 或者你可以说，-1到-2就是1，所以是1 只不过是负的罢了 但是接着你将其乘1再减1 就得到0，所以整项都消去了 接着你加上另一个1/1， 所以整个式子将为1/2 你解出来了 通过L'Hopital法则，我们求出了一个 并不会得出0/0结果的式子 的值 我们就乘入了两项并分别得求分子与分母 的导数，求了两次 最终我们得到了极值