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洛必达法则特殊案例的证明

这不是一个完整的洛必达法则证明,但它应该能解释这个法则为什么能这样用。 Sal Khan 创建

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视频字幕

我在这个视频里想做的是 洛必达法则的一个特殊情况 这比我们之前看的通常情况 更加限制一点 但这还是很强大实用的 然后我们要过一遍这个特殊情况的原因 是它的证明相对非常直接 并且会让你了解到为什么洛必达法则 是可行的 那这个洛必达法则的特殊情况 是当f(a)等于0 f'(a)存在 g(a)等于0 g'(a)存在 假如这些条件都符合了,那么 当x接近a时候,f(x)除以g(x)的极限 等于f'(a)除以g'(a) 这和通常情况很相似 只是限制多了一点 我们假设f'(a)存在 我们不知是求极限了 我们真的假设f'(a)和g'(a)都存在 但注意到假如我们代入a,我们会得到0/0 但假如这些导数都存在的话 我们可以求这些导数在a的值 然后我们就得到了极限 这个和洛必达法则的通常 情况非常相似 那现在我们来证明这个情况 我们要从右手边开始 然后利用导数的定义来 得到左手边 那我来开始 写在这里 f´(a)根据导数的定义 等于什么? 我们可以把这个看作是当x 接近a的时候,f(x)减去f(a)除以x减a的极限 所以这个其实就是两点之间的斜率 比如说你的函数f(x)是这样的 这是点(a,f(a))在这里 这是点(x,f(x)) 这里这个表达式就是 这两点之间的斜率 y值的变化是f(x)减f(a) x值的变化是x减a 所以这个表达式就是这条线的斜率 我们只是……让我 用另一个颜色……这条线 连接这两个点,这是它的斜率 用白色来写 连接这两点的直线的斜率 然后我们求当x越来 越接近a的极限 这就是另一种 导数的定义 好的 我们对g'(a)做同样的事情 f'(a)除以g'(a) 等于这个橙色的地方 f'(a)除以g'(a) 我们可以写成当x接近a 的时候g(x)减去g(a)除以x减a的极限 在分子我们求x接近a 的极限,然后在分子 我们求x接近a的极限 所以我们可以重新写这个 我们可以重新写成当x接近a时 所有橙色部分的极限 f(x)减去f(a)除以x减a 除以所有绿色的部分 g(x)减去g(a)的差除以x减a 我们可以通过在分子和分母同时 乘以x减a来消除所有的x 减a 那我们一起来 乘以x减a除以x减a 在分子里,乘x减a,然后除以x减a 这就抵消了 然后这两个也抵消了 我们剩下的等于x接近a 的极限,在分子里我们有 f(x)减f(a) 然后在分母里我们有g(x)减g(a) 我觉得你应该看到这往哪发展了 f(a)等于什么? 我们假设了f(a)等于0 这也是我们用洛必达法则的原因 f(a)等于0,g(a)等于0 f(a)等于0,g(a)等于0 这就化简成了当x接近a时 f(x)除以g(x) f(x)除以g(x)的极限 那我们刚刚展示了假如f(a)等于0,g(a)等于0 然后这两个导数都存在的情况下,那么 这两个导数的比例会等于 当x接近a时,f(x)除以g(x)的极限 或者说当x接近a时f(x) 除以g(x)的极限会等于f'(a)除以 g'(a) 所以这对于特殊情况 是一个直截了当的证明,但不是 一般情况