线性法求有理函数近似值

【讲师】所以在有些情况下 你有某个类型的函数 这显然是一个非线性函数 f (x) = 1 / (x-1) 这里是该函数的图形或局部 这里是该函数的图形或局部 如果想用一个近似的线性函数表示，特别是在某个值范围内 如果想用一个近似的线性函数表示，特别是在某个值范围内 那我们要做的是 找到一个近似函数，我写在这里 一个近似函数 其实更准确的说 我是要找到一个线性函数 我是要找到一个线性函数 近似于 f (x) 的线性函数 近似于 f (x) 的线性函数 我们还要知道在哪个范围内近似 在 x = -1 附近 这是什么意思呢 我们来看图形 曲线在 x = -1 点 f (-1) = -1/2 也就是图上这点，我标明显一点 也就是图上这点，我标明显一点 我们要在这点附近找到近似的直线 也就是要找到切线方程来求得近似 也就是要找到切线方程来求得近似 也就是要找到切线方程来求得近似 切线就是大概看起来这样的一条线 切线就是大概看起来这样的一条线 如果从 x = -1 点延伸出去 如果从 x = -1 点延伸出去 那直线越来越不贴近曲线 但如果只看 x = -1 点附近 就还挺像样的 至少在这题中是一个非常好的线性近似了 至少在这题中是一个非常好的线性近似了 所以当题目要求在 x = -1 点附近取线性近似 所以当题目要求在 x = -1 点附近取线性近似 或者给出几条线，问哪一个是最近似的 或者给出几条线，问哪一个是最近似的 这些其实都是让你求出在 x = -1 点的切线方程 这些其实都是让你求出在 x = -1 点的切线方程 咱们来做一下 为了求出切线方程 直线方程通常表示为 y = mx + b 其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距 你还可以换一个思路 用点斜率来理解它 (y - y₁) =斜率乘以 (x - x₁) 即，(y - y₁) = b (x - x₁) 其中 (x₁, y₁) 是直线上一点 其中 (x₁, y₁) 是直线上一点 其实我更喜欢写成点斜率的这个形式 (y - y₁) / (x - x₁) = b (y - y₁) / (x - x₁) = b 这样很直观 (x₁, y₁) 在直线上 和直线上另外任一点 (x, y) 间的斜率 就是直线的斜率 这几种表达都可以的 下面我们先来求出切线斜率 这就用得上导数了 f ，我还是写成 f (x) 我这里写成 (x -1)⁻¹ 这和 1/ (x -1) 一样 但是更明显能看出要用 幂法则 和一点点 链式法则 所以 f (x) 关于 x 求导 对 (x -1)⁻¹ 求导，先把 x -1 看作一个整体 对 (x -1)⁻¹ 求导，先把 x -1 看作一个整体 使用幂法则 -1 带下来，乘以 (x -1)⁻² -1 带下来，乘以 (x -1)⁻² 接着再对 x -1 做关于 x 的求导 刚好就得 1 x 对 x 求导等于 1 -1 对 x 求导等于 0 所以这里可以继续写上乘以 1 或者就不写了，乘 1 还是它自己 或者就不写了，乘 1 还是它自己 接着求 x = -1 时的值 f '(-1) = 我写回分数形式 f '(-1) = -1 / (-1 -1)² f '(-1) = -1 / (-1 -1)² 就是-1 / (-2)² = -1/4 所以这里的切线斜率就求好了 我写成这个形式 m= -1/4 我写成这个形式 m= -1/4 再写方程式就好了 我们已知了 (x₁, y₁) 在直线上 我们已知了 (x₁, y₁) 在直线上 我们就用 x = -1 这点 可以表示为 ( -1, y) 代入 x 就可以求出 y，f (-1) = 1/ (-1-1) = - 1/2 代入 x 就可以求出 y，f (-1) = 1/ (-1-1) = - 1/2 代入 x 就可以求出 y，f (-1) = 1/ (-1-1) = - 1/2 坐标为 ( -1, -1/2) 该点既在曲线上，又在切线上 它就是曲线和切线相交的切点 它就是曲线和切线相交的切点 现在可以用这几个表达式的任意一个写出切线方程 现在可以用这几个表达式的任意一个写出切线方程 现在可以用这几个表达式的任意一个写出切线方程 我用这个，y - y₁ 也就是 y - (-1/2) 斜率刚才求了，是 -1/4 我代入中间这个 点斜率方程 y - y₁ = b (x - x₁) y - (-1/2) = -1/4 (x- (-1)) y - (-1/2) = -1/4 (x- (-1)) 我换个颜色统一写 y + 1/2 = -1/4 (x+1) y + 1/2 = -1/4 (x+1) -1/4 乘进括号 y + 1/2 = -1/4 x -1/4 等式两边同减 1/2，得到 y = -1/4 x - 1/4 - 1/2 y = -1/4 x - 1/4 - 1/2 y = -1/4 x - 3/4 y = -1/4 x - 3/4 这结果和图形也很符合 切线和 y 轴差不多相交于 -3/4 所以就做好啦~ 这条直线 或者说这个方程式 就是非常好的线性近似了 是非线性函数在 x = -1 点的最好的线性近似 是非线性函数在 x = -1 点的最好的线性近似 你可能要问，那为什么不直接让我求 x = -1 点的切线方程呢？ 你可能要问，那为什么不直接让我求 x = -1 点的切线方程呢？ 你可能要问，那为什么不直接让我求 x = -1 点的切线方程呢？ 是可以，但这就是额外的知识点 你明白这个切线方程也可以用来表示，函数在 x = -1 点附近的线性近似 你明白这个切线方程也可以用来表示，函数在 x = -1 点附近的线性近似 你明白这个切线方程也可以用来表示，函数在 x = -1 点附近的线性近似