局部线性法

我们对 4.36 的平方根的近似值感兴趣， 我们想找到 它的近似值，我们手中没有计算器， 那么，一个考虑方法就是我们知道 4 的平方根是什么， 我们知道它是 +2， 4 的主根是 +2， 它就会是比 2 多一点， 我们若是要更精确一点， 这就是我在这个视频中要讲的 一种方法，求一个函数中， 在一个已知的函数值附近的函数近似值， 我所说的意思是什么呢？ 我们想象我们有一个函数， 我们有一个函数 f(x) 等于 x 的平方根， 当然，它和 x 的 1/2 次方是相同的， 我们知道，f(2)是什么， 我们知道 f(2)，抱歉，是我们知道 f(4)， 我们知道 f(4) 是 4 的平方根， 它就是 2，或者说 4 的主根 是 +2，我们要近似地找出 f(4.36)等于什么， 这就构成了 我们在这个视频开始时的同一个问题的另一种方式， 我们来想象一下这个函数， 我们来想一会儿， 我来画一下数轴， 这是我的 y 轴， 这是我的 x 轴，我把 y 等于 f(x) 画出来， 它看起来是这样的， y = f(x) 是这个样子， 很漂亮， 这就是 y = f(x)， 我们知道， f(4) = 2， f(4) = 2，这是在 x = 4， 我没有按照比例来画，但希望它能表达清楚， 就在这里，它是 2， 也就是 f(4)， 我们要 f(4.36) 的近似值，4.36 大概在这里， 我们要这里的 y 的近似值， 我们要对它进行近似， 这里就是 f(4.36)， 再说一遍，我们假设我们手里没有计算器， 我们怎样用我们知道的导数来做呢？ 如果我们求一个直线方程， 这是这一点的切线，就是这一点的切线， 这个切线的方程在 x = 4 ，然后， 我们使用线性化方法，线性化可以定义它周边的近似值， 这个技术叫做局部线性化。 我说的是，我们找出这个直线的方程是什么， 我们叫它 L(x)， 我们可以用它来求近似， 然后，我们来计算在 4.36 的函数值， 希望这比 从这里寻找更容易做出来 我们怎样做呢？ 一个办法是，显然，有许多 表示直线的方法，一个办法就是， L(x) 是 f(4），也就是 2， 它就是 f(4) 加上这个斜率， 就是在 x=4 的斜率，当然，它就是 导数 f '(4)， 这个直线 L(x) 的斜率就是 f '(4) 我写清楚一些， 这是它的斜率， 在 x=4 的斜率， 这是整个这条直线的斜率， 这样，直线上的任何其他的点就是 f(4) 加上 斜率乘以这个点到 x = 4 的距离， 也就是乘以 x - 4， 我们要证实它的合理性， 当我们把 4.36 放在这里， 我来把图放大一下，这样看得更清楚些， 如果它是 --放大 把它放大， 我要把这个区域放大， 这就是点 （4，f(4) )，我们画出 L(x)， 我来做一下， 这里是 L(x) , 这是 L(x)， 我们说这里， 就是点 ( 4.36，f(4.36) )， 我们对这个值求近似，就是 要找到这个值是什么， 它的值是什么， 这个值就是 (4.36，L(4.36) )， 这条直线可以计算当 x = 4.36，它等于什么， 它等于什么？ 我们来看， 我们计算它的值， L(4.36) 就等于 f(4)， 也就是 2 ，加上 导数， 也就是这条线的斜率，加上 f '(4) 乘以 (x - 4)， 4.36 - 4 ，就是乘以 0.36，这是对的， 你的起点在 2，你可以说， 我在 x 的变化是 0.36，（原文说 4.36 是个错误 --译者） 所以。我在 y 的变化就是我的斜率乘以 x 的变化， 我就可以得到这里的值， 我们来计算一下它是多少， 计算这一点的值，看它实际是多少， 要计算它，我们需要知道 f '(4)，我们回到这里， 我要把这个图保留在这里， 我们看到，f '(x) 就是 1/2 乘以 x 的 -1/2 次方，我们是使用了指数法则， f '(4) 等于 1/2 乘以 4 的 -1/2 次方， 它就当然等于1/2 乘以 1/2， 4 的 1/2 次方是 2， 4 的 -1/2 次方就是 1/2， 它就等于 1/4， 我们应该要击鼓了，L(4.36) 就等于f(4) , 等于 f(4) 它等于--我重写一下-- 它就是 f(4) 加上 f '(4)，加上--嗨，我为啥变成这个颜色？ 我用黄色， 加上 f '(4) 乘以，乘以 乘以 4.36 4.36 让我给它用一个新颜色，可以看出它来， 4.36, 乘以 4.36 - 4， 减去 4，我把所有的 4 都用黄色， 所以我们可以看到它们相同，就这样， 它等于什么？ 我们已经知道，这是 +2， 这是已经算出来的，我们用黄色来写， 这个，我们已经算出是 1/4，这里这一部分是 0.36， 它就等于 2 加上 1/4 乘以 0.36，就是 0.09， 它就等于 2.09， 这就是我们的近似，它要比-- 至少根据我们画的图像 它要比实际的 4.36 的平方根的值略高一点，我们在这里写出来， 它就近似地--我这样写-- 这个平方根，我在这里写出来， 所以我们可以说 4.36 的平方根，也就是 f(4.36) 近似地等于 2.09， 现在，如果我们碰巧找到一个计算器， 出于好奇，我们看看我们的近似有多么好， 我们拿出计算器， 我们要做出 4.36 的平方根，我们得到 2.088， 这样，如果我们圆整到最接近的1/100， 我们得到了相当好的近似值。正如我们 在这个说明性的图像里看到的， 我们的近似值比实际值高了一点点。