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主要内容

微分学

课程: 微分学 > 单元 4

课程 4: 相关变化率介绍
数学
微分学
导数的应用
相关变化率介绍
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分析涉及相关变化率的问题

Google课堂
相关变化率问题是我们通过使用我们所拥有的与相关的另一个数量的变化率的信息来解释数量变化率的文字问题。我们先来了解此类问题。
相关变化率问题 是应用类题型，我们通过其他已知变化率的量来找到某个在变化的量的变化率。

解决相关变化率问题的例题

想想一下我们遇到了以下问题：
圆圈的半径 r, left parenthesis, t, right parenthesis 以每秒 3 厘米的速度在增长。在某一时刻 t, start subscript, 0, end subscript，半径为 8 厘米。
在那个时刻，该圆圈的面积 A, left parenthesis, t, right parenthesis 的变化率为多少？

理解各个量和它们的变化率

总体来说，我们在这里正在解决一个大小会随着时间变化的圆的问题。在该题中引用到了两个量：
r, left parenthesis, t, right parenthesis 是 t 秒后的半径。单位为 厘米 。
A, left parenthesis, t, right parenthesis 是 t 秒后的圆的面积。单位为 平方厘米。
一个圆的半径标记为r是t的函数，面积标记为A是t的函数。
该问题也涉及到了这些量的变化率。每个量的变化率由它的 导数 给出。
r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis 是瞬时变化率，在 t 时刻半径的变化。单位为 厘米每秒。
A, prime, left parenthesis, t, right parenthesis 是瞬时变化率，在 t 时刻面积的变化。单位为 平方厘米每秒 。

理解所给出的信息

我们知道半径以每秒 3 厘米的速度在增长。这个就说明无论 t 为何值， start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54
我们还知道，在某时刻 t, start subscript, 0, end subscript，半径为 8 厘米。这个意味着 start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd。注意，这个仅在 t, start subscript, 0, end subscript 时刻发生，而不是任何 t 值。
最后，我们要找到 A, left parenthesis, t, right parenthesis 在 t, start subscript, 0, end subscript 时刻的变化率。数学上来说，我们正在找 start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10。

将面积和半径联系起来

在我们理解了相关的量后，我们应当找个等式，或方程，能将他们联系起来。我们例题中的量是圆的 面积 和 半径。这些量可以用圆的面积公式来建立联系：
A, equals, pi, r, squared

微分

想要找到 start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10，我们需要取等式两边的导数。完成后，我们就可以将 start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 和其他已知值联系起来，像 start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #1fab54。这能让我们求解 start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10。
因为我们没有 A, left parenthesis, t, right parenthesis 和 r, left parenthesis, t, right parenthesis 的通项公式，我们就用隐函数微分：
A(t)=π[r(t)]2ddt[A(t)]=ddt[π[r(t)]2]A′(t)=2πr(t)r′(t)\begin{aligned} A(t)&=\pi [r(t)]^2 \\\\ \dfrac{d}{dt}[A(t)]&=\dfrac{d}{dt}\Bigl[\pi [r(t)]^2\Bigr] \\\\ \goldD{A'(t)}&=2\pi\blueD{r(t)}\greenD{r'(t)} \end{aligned}
这是我们解决方法的核心：通过使这些量（A 和 r）相关，我们能用微分使他们的变化率（A, prime 和 r, prime）也相关。这也是为什么这些问题被称作 “相关变化率”！

求解

注意，我们得到的等式对任意 t 均为真，特别是 t, start subscript, 0, end subscript。我们能够把 start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd 和 start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 代入进等式：
A′(t0)=2πr(t0)r′(t0)=2π(8)(3)=48π\begin{aligned} \goldD{A'(t_0)}&=2\pi\blueD{r(t_0)}\greenD{r'(t_0)} \\\\ &=2\pi(\blueD 8)(\greenD 3) \\\\ &=48\pi \end{aligned}
综上，我们找到在 t, start subscript, 0, end subscript 时刻，面积在以 48, pi 平方厘米每秒的速度在增长。
问题 1.A
  • 当前
第1组题目带着你走过了分析下列问题的步骤：
三角形的底边 b, left parenthesis, t, right parenthesis 以 13 start text, 米, slash, 小, 时, end text 的速度在减少，且其高以 6 start text, 米, slash, 小, 时, end text 的速度在增加。在 t, start subscript, 0, end subscript 时刻，底边为 5 start text, 米, end text，高为 1 start text, 米, end text。在那一时刻，三角形面积 A, left parenthesis, t, right parenthesis 的变化率为多少？
将每个表达式与其单位配对。
start text, 米, end text
start text, 米, slash, 小, 时, end text
start text, 米, end text, squared
start text, 米, end text, squared, start text, slash, 小, 时, end text
b, prime, left parenthesis, t, right parenthesis
A, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
h, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
start fraction, d, A, divided by, d, t, end fraction

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常见错误：混淆哪些表达式为变量，哪些为常量

正如你所见，相关变化率问题设计多个表达式。一些代表量，而另一些代表变化率。一些会变化，而另一些则为常量。
确保了解所有表达式的含义，且能匹配对应的值（如果给出的话）是非常重要的。
我们建议使用类似在例题以及第1组题目中所示的分析：什么是相关的量？什么是它们的变化率？什么是它们的单位？什么是它们的值？
问题2
请看这个问题：
两辆车正在从互相垂直的方向朝一个交点驶去。第一辆车的速度为 50, start text, space, k, m, slash, h, end text，第二辆车的速度为 90, start text, space, k, m, slash, h, end text。在某时刻 t, start subscript, 0, end subscript，第一辆车距离交点 x, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis 为 0, point, 5, start text, space, k, m, end text。第二辆车距离交点 y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis 为 1, point, 2, start text, space, k, m, end text。在那时刻，两辆车之间的距离变化率为多少？
哪个等式可以用于解决这个问题？
选出正确答案：

常见错误：选了一个不能代表给出问题的的等式。

正如你所见，将所有量联系起来的等式在解决该类问题中起到了重要的作用。通常用某种可以描述其情景的图表，再配以相关的所有量会很有用。让我们使用题目2为例。该题描绘了一个直角三角形。
在交叉路口，第一辆汽车和第二辆汽车之间形成一个直角三角形。 直角在相交处。 通往第一辆车的路段标记为x是t的函数。 通往第二辆汽车的路段标记为y是t的函数。 两车之间形成斜边为d是t的函数。
该图片使得我们要找的可以关联三角形三边的等式更清晰了，这可以用勾股定理来解题：
open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, equals, open bracket, x, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, plus, open bracket, y, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared
如果没有图片，我们可能不小心把 d, left parenthesis, t, right parenthesis 当做三角形的面积来处理了...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, x, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
... 或者将 x, left parenthesis, t, right parenthesis， y, left parenthesis, t, right parenthesis 和 d, left parenthesis, t, right parenthesis 当作三角形的三个角来处理了...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, x, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 180
... 或者把 d, left parenthesis, t, right parenthesis 当作一个角，然后用三角函数来做等式
tangent, open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, t, right parenthesis, end fraction.
所有这些等式都可能在其他相关变化率问题中有用，但是却不是用来解决题2的。
问题3
请看这个问题：
一个 20米 的梯子斜靠在墙上。梯子底部距离墙的距离 x, left parenthesis, t, right parenthesis 以每分钟 3米 的速度在增加。在某时刻 t, start subscript, 0, end subscript，梯子顶部距离地面的距离y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis 为 15米。在那个时刻，梯子与地面所成角 theta, left parenthesis, t, right parenthesis 的变化率为多少？
哪个等式可以用于解决这个问题？
选出正确答案：

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