分析相关变化率问题: 方程式 (勾股定理)

两辆车 垂直相向驶向一个交叉路口。 第一辆车的速度是50公里/小时， 而第二辆车的速度是90公里/小时， 在某个时刻t0, 第一辆车距交叉路口的距离是x(t0), 0.5公里， 而第二辆车的距离y(t0) 是1.2公里。 两辆车距离的变化率d(t)在那个时刻的值是多少？ 即时刻t0. 我们应该用哪个公式来解决本问题？ 这里我们有四个选项， 请暂停本视频， 试着自己解决这个问题。 然后我们一起来求解。 我们先来画一个示意图。 这么做是值得的。 两辆车相互垂直地驶向一个交叉路口。 例如这里有一辆车， 它沿着x方向 驶向这里这个交叉路口。 而另外一辆车 它沿着y方向行驶。 假设它这样行驶。 这是第二辆车。 我应该画一个俯视图。 像这样。 这个方块代表第二辆车， 它沿着这个方向行驶。 现在，已知在某个时刻， t0，我们画出该时刻的示意图。 那么，第一辆车的距离， x(t0), 0.5公里。 这里的这段距离， 我们用x(t)来表示， 而这里这段距离，用y(t)来表示。 那么，两辆车之间的距离 怎么用x(t)和y(t)来表示呢？ 这里我们应用距离公式， 即毕达哥拉斯定理， 两辆车之间的距离是 这个直角三角形的斜边。 注意，已知两辆车垂直相向而行。 所以，这是个直角三角形。 那么，这里这段距离， 等于x(t)的平方加y(t)的平方再取平方根。 这里用到了毕达哥拉斯定理。 这等于d(t)，或者， 我们也可以说d(t)的平方 等于x(t)的平方, 加y，括号写多了。 加上y(t)的平方。 所以，这是d(t)，x(t)，和 y(t)之间的关系， 这有助于解决这个问题， 我们现在可以在方程的两边对t求导。 我们会用到一些求导法则， 包括链式法则， 那么我们就可以得到 d(t)的变化率， 即d’(t), 和x(t)的变化率，y(t)的变化率， x(t)及y(t)之间的关系。 现在，我们来看这里这些选项， 选项D正好 反映了我们需要的关系。 D项说的是 两辆车距离的平方等于 到路口距离x的平方 加上到路口距离y平方， 然后我们对方程两边求导 就可以解出这个相关率问题。