相关变化率简介

我们有一个水池， 我在池子中间扔一个石头， 过了一会儿，一个小波浪，小涟漪， 形成了，它很快地 从我丢石头的地方向外移动， 我看我能画得多好， 它很快地向外移动， 这就是它形成的波纹， 由丢石头所形成的波纹， 它是一个圆圈， 中心就在最初丢下石头的地方， 在这个时刻，这个圆圈的半径 等于 3厘米， 我们也知道它的半径 以 1厘米/秒 的速率增加， 半径以 1 厘米/秒 的速率增长， 已知这个条件，现在我们的圆圈 半径是 3 厘米， 我们还知道它的半径 以 1厘米/秒 的速率增长， 已知这些， 它的面积以什么样的速率增加？ 有意思， 我们考虑一下我们已知什么， 然后，我们未知什么？ 我们需要求什么？ 如果我们把这个半径叫做 r，我们知道现在 r = 3 厘米, 我们还知道 r 随时间的变化率， 我们还知道这个信息， dr/dt , 半径对于时间的变化率 是 1 厘米/秒， 我们要求什么？ 题目要求圆的面积增长的变化率是什么， 我们需要求出 圆面积以什么样的变化率， --这里 A 就是圆的面积-- 增长？ 这就是我们要求的， 这里一个有用的办法就是 找到圆的面积 和圆的半径之间的关系， 然后取它对时间的导数， 我们必须用一点链式法则 来做。 那么，对于任何一个给定的时间点， 圆的面积 和圆的半径的关系是什么？ 这是最基础的几何， 一个圆的面积就是 π 乘以 圆的半径的平方， 现在我们要做的是就是求出 面积对于时间的变化率， 我们为什么不取 这两边对时间的导数呢？ 让我给自己多一点空间， 我把已有的重新写一下， π r 平方， 面积等于 π r 平方 我要对两边取 它们对时间的导数， 对于时间的导数， 我不是求对 r 的导数， 我要求对时间的导数， 这里，在左边， 我们有面积的导数， 我用绿色来写， 在左边，我有面积 对于时间的导数， 在右边，我们有什么？ 如果我是求一个常数乘以什么的导数 我可以把常数提出来， 我们来做一下， π 乘以 r 平方对时间的导数， 为了把我要做的讲得更清楚一些， 为什么我要用链式法则， 我们假设 r 是时间的函数， 如果 r 不是时间的函数， 那么面积就不会是时间的函数。 与其只写 r ，我要明确地表示 它是时间的函数， 我要写 r(t)， 这是 r(t) , 我们对它求平方， 我们要求出它 对于时间的导数， 这里，我们就要用链式法则， 我们求某一项的平方 对这一项的导数， 某一项的平方对这一项的导数， 就是 2 乘以 这一项的一次方， 让我们明确一点， 这是 r(t) 的平方对 r(t) 的导数， 某一项的平方 对这一项的导数， 如果它是 x平方的导数， 我们就有 2x ， 如果它是 r(t)平方对于 r(t) 的导数 它就是 2r(t)， 但是，它不能给出 对于时间的导数， 它只是对于 r(t) 的导数， 要求它随时间变化的导数， 我们必须把它乘上 r(t)随时间而变化的变化率， r(t)对时间而的变化率， 我们可以把它写成 dr/dt， 这是相等的表达式， 当然，我们还有 π 在前面， 我要强调一下， 这就是链式法则， 某项的平方对于时间的导数， 就是某项的平方 对于这一项的导数， 也就是 2乘以这一项 ，再乘以 这一项对时间的导数， 我怎样强调都不过分， 我们再这里做的，这是链式法则， 这是链式法则， 我们还有 π 乘以它， 就等于我们的面积对时间的导数， 让我再把它们全部重写一遍， 让它整洁一些， 我们的面积 对时间的导数等于 π 乘以 -- 我把 2 放在前面， 就等于 2 乘以 π 乘以 -- 现在我变回叫它 r ， 我们知道 r 是 t 的函数， 我只写 2π 乘以 r 乘以 dr/dt， 我用蓝色写 r ， 2π r dr/dt， 我们知道什么？ 我们知道 r 是什么， 我们知道，就在这个时刻， r 是 3厘米， 现在 r 是 3厘米， 我们知道 dr/dt 现在是 1 厘米/秒， 我们知道它是 1 厘米/秒， 那么 dA/dt 等于什么？ 它就等于 --还用绿色 -- 2π 乘以 3 乘以 3 乘以 1 乘以 -- 用紫色 -- 乘以 1 厘米/秒， 我们要确定我们所用单位是正确的， 所以我们有厘米乘以厘米， 它就成为-- 这个颜色太暗了， 它就会是平方厘米， 厘米乘以厘米，平方厘米/秒， 它正是我们所需要的面积变化的量纲， 这样，我们就有，dA/dt 等于它， 面积对于时间的变化率等于 6π 也就是18平方厘米/秒 多一点。 就在这一时刻， 3 乘以 2π， 就是 6π 平方厘米/秒， 这就是面积变化得有多快， 我们做完了。