相关变化率：倾倒的梯子

现在我这有一个10英尺的梯子靠在墙上 但是地面特别滑，然后它开始往外滑了 然后在这一时刻 梯子的底部距离墙 有8英尺远 然后它正在向外以4英尺每秒滑动 然后我们假设梯子的顶部 沿着墙并一直保持接触，所以 是垂直往下滑的 这里我们可以看到，箭头是往下指的 然后问题是，梯子 在这一时刻是以多快速度往下滑？ 我们一起来想一想 我们都知道或者不知道些什么 那假如我们将梯子 底部和墙底部的距离 为x的话 我们知道x等于8英尺 我们还知道x相对于 时间的变化速率 x相对于时间的变化率是 4英尺每秒 我们可以说这个是dx/dt 现在我们管梯子顶部 和底部的距离h 称其为h 那我们实际上就是想 根据我们已知的其它信息 来求dh/dt 我们来看看能不能写出一个x 和h之间的关系，然后求相对于时间的 导数，可能得用链式法则 然后看看能不能用所有这些信息 来求得dh/dt 根据勾股定理，我们能知道x和h 在任意一个时间点之间的关系 可以假设这是一个直角三角形 我们知道x平方加上h平方 等于梯子的长度的平方 也就是100 然后我们关注的是这些量 相对于时间的变化率 那我们来求两边相对于 时间的导数 这里是一个隐函数求导 x平方相对于时间的导数是什么？ x平方相对于x的导数是2x 然后我们要将其与 x相对于时间的导数dx/dt相乘 说明白点这个就是链式法则 这是x相对于x的导数 也就是2x，乘上dx/dt来得到 x平方相对于时间的导数 就是链式法则 同样，h平方相对于 时间的导数是什么？ 这就是2h，h平方相对于h 的导数乘上 h相对于时间的导数 再说一遍，这是h平方 相对于h的导数，乘上h相对于 时间的导数，就得到了h平方 相对于时间的导数 然后我们在等式右边 得到什么？ 梯子的长度没有在变 100不会随着时间而改变 常数的导数就是0 现在我们就有了 h相对于时间的变化率和 x相对于时间的变化率的关系 在某个时间点 x的长度是x，h的常数是h 但我们知道在x等于8英尺的时候h是多少吗？ 我们可以算 当x等于8英尺时，我们再次使用勾股 定理 我们得到8英尺平方加上h平方 等于100 8平方等于64 两边减去64，得到h平方等于36 取算术平方根，这里取 负数平方根不合理因为这表示 梯子在地底下了 所以h等于6 这基本上是题目 给的信息了 我们现在知道 看这里的等式 我们知道x，题目给了 现在x是8英尺 我们知道x相对于时间的变化率 是4英尺每秒 我们知道h现在是多少，它是6 然后我们可以求h相对于时间的变化率 我们一起来 2乘8英尺乘4英尺 每秒，加2h 高度现在是6 乘高度相对于时间的 变化率等于0 所以我们得到了2乘8乘4等于64 加上12dh/dt等于0 我们可以在两边减去64，得到12 乘h相对于时间的变化率 等于负64 然后我们在两边除以12 现在掌声响起 h相对于时间的 变化率，或者说导数，等于负64 除以12 等于负64除以12 等于负16 除以3 这等于……让我 过来一点……负5 又1/3英尺每秒 我们做完了 但是再确认一下 这里得到一个负数是否 合理？ 我们的高度在减小 所以变化率是负数 完全合理 我们就做完了