相关变化率：追及汽车

这里这辆轿车正在以60英里每小时的 速度接近十字路口 在此时此刻 它距离路口0.8英里 然后这有个卡车 也在接近同一个路口 在一条和轿车所在的道路 垂直的路上 现在它距离路口0.6英里 并且以30英里每小时的速度 接近路口 现在问题是，轿车和卡车 之间的距离的变化速率 是多少？ 我们先开始 想想题目问的是什么 我们要求轿车和 卡车之间的距离 所以在此时此刻，当轿车 距离路口0.8英里时 卡车距离路口0.6英里 卡车以30英里每小时的速度 接近路口，轿车以60英里每小时的 速度接近路口 这个距离的变化速率 是多少？ 我们来点变量，叫这个 距离为s 所以我们实际上就是想知道 在这个时刻，ds/dt等于多少 我们想想可以用哪些 已知信息来得到 ds/dt是多少 我们知道轿车和路口的距离 我们管这个距离叫…… 管这个距离叫y吧 那y等于0.8英里 我们还知道……让我写出来 我们知道y现在等于0.8英里 我们还知道dy/dt，y相对于 时间的变化速率是多少？ y正在以60英里每小时的速度减小 所以我写成是负60英里每小时 同样的，假设这里这个距离 叫x，x此时等于0.6英里 我们知道x等于0.6英里 x相对于时间的变化率是多少？ 我们知道30英里每小时 是接近路口的速度 但是x是在以30英里每小时的速度减小 所以我们应该说负30英里每小时 我们知道y了 我们知道x 我们知道y和x相对于 时间的变化率 那现在我们可以在这尝试 写出一个x，y和s之间的关系 然后将这个关系相对于 时间求导 看上去我们已经有所有解这道题 所需的信息了 那x，y和s之间的关系是什么 我们知道这是一个直接三角形 这两条道路互相垂直 所以我们可以用勾股定理 我们知道x平方加y平方 等于s平方 然后我们可以求两边 相对于时间的导数 来得到一个我们想要的东西 之间的关系 那x平方相对于时间的导数是什么？ 你需要x平方 相对于x的导数，也就是2x 乘上x相对于时间的导数dx/dt 这个就是链式法则 某个变量的平方相对于这个变量的导数 乘上这个变量相对于时间的导数 这边我们也用类似的逻辑 来求y的平方相对于 时间的导数 y平方相对于y的导数 乘上y相对于时间的导数 然后等式的右边我们再一次 求相对于时间的 导数 所以是s平方相对于s的导数 也就是2s 乘上s相对于时间的导数 重申一下，这就是链式法则的应用 现在看上去我们知道 x是什么，我们知道dx/dt是什么，我们 知道y是什么，我们知道dy/dt是什么 我们只需求出s 然后求ds/dt，也就是这个距离 相对于时间的变化率 现在s是多少呢？ 我们可以在这个时刻 使用勾股定理 我们知道x平方……x等于0.6 我们知道0.6平方加上y平方，也就是0.8平方 等于s平方 这是0.36，加上0.64等于s平方 这是1，等于s平方 然后我们只管正的距离 所以现在s等于1 我们知道s是多少了 那我们把所有这些数字都带进去 然后试着求我们需要的东西 求ds/dt 所以2x……或者我该 用黄色……2乘x，x等于0.6 等于1.2乘dx/dt 这是负30英里每小时 乘负30英里每小时 加上2乘y等于1.6，乘dy/dt 等于负60英里每小时 这里我没有写单位 但假如你真要写出单位的话 你会看到所有的距离都是英里 所有的时间都是小时 所以当我们求ds/dt的时候 单位也会是英里每小时 但假如你想的话，我支持你写出 单位来看看是怎么回事 那这等于2乘s s是1，所以是2乘 ds/dt，也就是我们想求的东西 那我们左手边得到多少？ 1.2乘30，等于负36 对吧？ 30的1/5是6，这是对的 然后1.6乘负60 这等于负96，等于2乘ds/dt 等于2乘距离相对于 时间的变化率 在左手边这里，这是负132 负132等于2乘ds/dt 两边除以2，我们得到负66 现在我们可以加上单位了，英里每小时 是我们的距离 相对于时间的变化率 所以ds/dt等于负66英里每小时 答案该不该是负数呢？ 当然了，在这一时刻，他们都在接近 路口，所以这个距离正在减小